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OMB 2013 Finale MAXI Question 4
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(a) Existe-t-il un multiple de 11 dont la somme des chiffres vaut 6 ?

(b) Existe-t-il un multiple de 11 dont la somme des chiffres vaut 11 ?

(c) Existe-t-il un multiple de 11 dont la somme des chiffres vaut 3 ?

(d) Trouver tous les entiers naturels pour lesquels il existe un multiple de 11 dont la somme des chiffres est égale à .



Solution(s) proposée(s) :
Solution de Guillaume Nimal


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 30/4/2013 22:12  Mis à jour : 30/4/2013
Tous les nombres except 1,3,5,7,9 peut etre la somme des chifres.
Si la somme est pair, on peut choisir. et autrefois .
Notez que la somme des nombres avec indice impair moins la somme des nombres avec indice pair doit etre un multiple de 11 resoudre la probleme.
Loïc Burger
Posté le : 30/11/2013 1:26  Mis à jour : 30/11/2013
En un peu plus détaillé que ce qui a été donné ci-haut, ça devrait donner :

Soit , un entier positif (et même strictement positif si on veut) dont les chiffres en base décimale sont les , , c'est-à-dire, qui s'écrit sous la forme :

Alors, on a :





En effet, partant du fait que :





on peut alors écrire :





ce qui prouve directement l'implication de gauche à droite. La réciproque suit le même genre de raisonnement, en partant de l'expression de gauche et en utilisant le que


.

Fort de ce résultat préliminaire, on peut s'engager sur la voie de la résolution du problème.

On résout d'abord le problème de manière générale, c'est-à-dire le d). Il s'avère que c'est toujours possible sauf si . En effet :


Si est pair, alors la suite de , , , , satisfait le problème. En effet, la somme des chiffres vaut


et


ce qui satisfait bien la double condition.


Si est impair et est plus grand que 9, la suite suivante répond aux conditions :











avec et différent de

En effet, dans ce cas,


et


ce qui satisfait bien la double condition.

Si , par contre, il n'y a pas de solution. En effet, on part du fait que :





Or,





Au vu des valeurs que prend , il vient que pour respecter le critère de divisibilité par 11 :





Dès lors en sommant les expressions (1) et (2), il vient que :





ce qui est impossible puisque le membre de droite est divisible par deux et que est impair.

On peut alors répondre que :

a) Oui, c'est possible, par exemple 111111.

b) Oui c'est possible, par exemple 90101.

c) Non c'est impossible vu d)

d) Démontré ci-haut.

Bon il est tard, il y a surement des fautes, mais je regarderai plus tard. Bonne nuit.
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