OMB - OMB 2013 Finale MAXI Question 4

OMB 2013 Finale MAXI Question 4

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(a) Existe-t-il un multiple de 11 dont la somme des chiffres vaut 6 ?

(b) Existe-t-il un multiple de 11 dont la somme des chiffres vaut 11 ?

(c) Existe-t-il un multiple de 11 dont la somme des chiffres vaut 3 ?

(d) Trouver tous les entiers naturels $n$ pour lesquels il existe un multiple de 11 dont la somme des chiffres est égale à $n$ .

Solution(s) proposée(s) :
	Solution de Guillaume Nimal

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Anonyme	Posté le : 30/4/2013 22:12 Mis à jour : 30/4/2013
Tous les nombres except 1,3,5,7,9 peut etre la somme des chifres. Si la somme est pair, on peut choisir. $11111...1$ et autrefois $11111...1902$ . Notez que la somme des nombres avec indice impair moins la somme des nombres avec indice pair doit etre un multiple de 11 resoudre la probleme.

Loïc Burger	Posté le : 30/11/2013 1:26 Mis à jour : 30/11/2013
En un peu plus détaillé que ce qui a été donné ci-haut, ça devrait donner : Soit $x$ , un entier positif (et même strictement positif si on veut) dont les chiffres en base décimale sont les $a_i$ , $i\in [0,N]$ , c'est-à-dire, qui s'écrit sous la forme $x = \sum_{i=0}^N a_i10^i$ : Alors, on a : $x \equiv{0} \pmod{11}\Leftrightarrow \sum_{i=0}^{N}(-1)^ia_i \equiv{0} \pmod{11}$ En effet, partant du fait que : $10\equiv{-1} \pmod{11}$ on peut alors écrire : $x = \sum_{i=0}^N a_i10^i \equiv{\sum_{i=0}^N (-1)^ia_i} \pmod{11}$ ce qui prouve directement l'implication de gauche à droite. La réciproque suit le même genre de raisonnement, en partant de l'expression de gauche et en utilisant le que $10\equiv{-1} \pmod{11}$ . Fort de ce résultat préliminaire, on peut s'engager sur la voie de la résolution du problème. On résout d'abord le problème de manière générale, c'est-à-dire le d). Il s'avère que c'est toujours possible sauf si $n \in \{1,3,5,7,9\}$ . En effet : Si $n$ est pair, alors la suite de $a_i=1$ , $i \in [0,n-1]$ , $n \equiv{0} \pmod{2}$ , $n\geq2$ , satisfait le problème. En effet, la somme des chiffres vaut $\sum_{i=0}^{n-1}1=n\equiv{0} \pmod{2}$ et $\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i=0$ ce qui satisfait bien la double condition. Si $n$ est impair et est plus grand que 9, la suite suivante répond aux conditions : $a_0=9$ $a_1=a_3=0$ $a_i=1, \mbox{ sinon }$ avec $i \leq n-7 = N$ et différent de $0,1,3$ En effet, dans ce cas, $\sum_{i=0}^{N}1=n$ et $\sum_{i=0}^{N}a_i(-1)^i = 11 \equiv{0} \pmod{11}$ ce qui satisfait bien la double condition. Si $n=1,3,5,7,9$ , par contre, il n'y a pas de solution. En effet, on part du fait que : $x=\sum_{i=0}^{N}1=n \mbox{ (1) }$ Or, $11> n = \sum_{i=0}^{N}a_i \geq \sum_{i=0}^{N}a_i(-1)^i \geq \sum_{i=0}^{N}-a_i =-n > -11$ Au vu des valeurs que prend $n$ , il vient que pour respecter le critère de divisibilité par 11 : $\sum_{i=0}^{N}a_i(-1)^i = 0\mbox{ (2) }$ Dès lors en sommant les expressions (1) et (2), il vient que : $2 \sum_{i=0,i\equiv{0} \pmod{2}}^{N}a_i = n$ ce qui est impossible puisque le membre de droite est divisible par deux et que $n$ est impair. On peut alors répondre que : a) Oui, c'est possible, par exemple 111111. b) Oui c'est possible, par exemple 90101. c) Non c'est impossible vu d) d) Démontré ci-haut. Bon il est tard, il y a surement des fautes, mais je regarderai plus tard. Bonne nuit.