OMB - OMB 2013 Finale MINI Question 1 - Solution de Cédric Gilliard

OMB 2013 Finale MINI Question 1 - Solution de Cédric Gilliard

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Question :

Un professeur de français adopte une nouvelle manière d'évaluer les dictées. Il applique la formule suivante :

$\text{Note}=20\times\left(1-\frac{40\times\text{Nombre de fautes}}{\text{Nombre de mots du texte}}\right).$

(a) Quelle sera la note pour une dictée comportant 6 fautes dans un texte de 400 mots ?

(b) Est-il possible d'obtenir une note de 20 ? Si oui, comment ? Si non, pourquoi ?

(c) Est-il possible d'obtenir une note négative ? Si oui, comment ? Si non, pourquoi ?

(d) Martin a obtenu une note de 12 pour un texte de 200 mots. Combien a-t-il fait de fautes ?

(e) Adeline a obtenu 16 et a fait 4 fautes. Combien la dictée comptait-elle de mots ?

Solution de Cédric Gilliard :

Notons pour ce problème $n$ la note obtenue par un étudiant, $f$ le nombre de fautes qu'il aura commises et $m$ le nombre de mots contenus dans la dictée.

(a) S'il commet six fautes dans un texte de 400 mots, on a alors $f=6$ et $m=400$ . Sa note sera égale alors à

$n = 20 \times \left(1-\frac{10 \times 6}{400} \right)= 20 \times \left(1-\frac{3}{20}\right)= 20 \times \frac{17}{20}=20$

Il obtiendra donc une note de 17.

(b) Pour qu'un étudiant obtienne la note de 20, la parenthèse doit être égale à 1.

$\left(1-\frac{40\times\text{Nombre de fautes}}{\text{Nombre de mots du texte}}\right)=1$

Il faut donc que la fraction apparaissant dans la parenthèse soit nulle, et donc que son numérateur soit nul. Il faut que le nombre de fautes soit nul. Sa seule possibilité pour obtenir la note de 20 est qu'il ne commette aucune faute.

(c) Pour les mêmes raisons qu'avant, pour obtenir une note négative, la seule possibilité est que le contenu de la parenthèse soit négatif. Donc

$1-\frac{40\times\text{Nombre de fautes}}{\text{Nombre de mots du texte}}<0 \ \Longleftrightarrow\ 1-\frac{40\times f}{m}<0 \ \Longleftrightarrow\ 40 f > m$

Pour obtenir une note négative, il doit commettre plus de fautes que le quarantième du nombre de mots de la dictée.

(d) Martin obtient une note de 12 pour une dictée de 200 mots. On a donc $n=12$ et $m=200$ . On a alors

$12 = 20 \times \left(1-\frac{40f}{200}\right) \ \Longleftrightarrow\ \frac{12}{20}=1-\frac{f}{5} \ \Longleftrightarrow\ f = 2$

Il a commis 2 fautes.

(e) Adeline a obtenu 16 comme note et a commis 4 fautes. On a donc $n=16$ et $f=4$ . On a alors

$16 = 20 \times \left(1-\frac{40\times 4}{m}\right) \ \Longleftrightarrow\ \frac{16}{20}=1-\frac{160}{m} \ \Longleftrightarrow\ m = 800$

La dictée contenait 800 mots.

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