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OMB 2013 Finale MINI Question 4 - Solution de Savinien Kreczman Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2013 Finale MINI Question 4 - Solution de Savinien Kreczman
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Question :

Une bande de papier de largeur constante égale à 6 cm est pliée suivant un pli non perpendiculaire aux bords (voir la figure). La superposition détermine un triangle.



(a) Justifier que ce triangle est toujours isocèle.

(b) Un point est marqué sur un des bords de la bande et le pli doit passer par ce point. Construire précisément un des triangles obtenus par pliage dont un sommet est et dont l'aire vaut cm. Justifier la construction proposée.

(c) Existe-t-il d'autres triangles obtenus par un pliage passant par et dont l'aire vaut cm ? Combien ? Les construire tous.

(d) Quelle est l'aire minimale possible pour un triangle obtenu par un tel pliage ?



Solution de Savinien Kreczman :


(a) Soit le pli dans la bande de papier. La largeur de la bande étant constante, son côté est parallèle à son côté opposé . Les angles et ont donc même amplitude car angles alternes-internes déterminés par deux droites parallèles et la sécante .



Le pliage de la bande correspond à une symétrie orthogonale d'axe . L'image de coupe en un point entre et (on suppose ici ; le cas est exclu par l'énoncé, et si on échange et ainsi que et ). L'angle a même amplitude que l'angle car ces angles sont images l'un de l'autre par la symétrie. Dans le triangle , les angles et ont donc même amplitude et le triangle est isocèle.




(b) et (c) Les triangles ainsi construits ont tous comme hauteur la largeur de la bande, c.-à-d. 6 cm, et pour base relative à cette hauteur un des côtés isométriques ( dans la figure). Pour avoir une aire de 24 cm, il faut donc que les côtés isométriques mesurent 8 cm. Pour construire précisément un tel triangle, tracer les deux bords de la bande distants de 6 cm, placer sur un des bords un point et un point avec cm et puis avec comme centre tracer un cercle de rayon 8 cm. Ce cercle coupe l'autre bord en deux points et (puisque le rayon est plus grand que la largeur de la bande). Ceci crée deux triangles d'aire 24 cm (à savoir et ). Comme on peut prendre à gauche ou à droite de , il y a quatre triangles qui répondent à la question.




d) Le triangle d'aire minimale est celui qui aura la plus petite base . Comme et que et sont deux points sur deux droites parallèles, la plus petite distance entre et est obtenue quand est perpendiculaire au bord de la bande. Le triangle est alors rectangle isocèle de côtés isométriques de longueur 6 cm et d'aire 18 cm.



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