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OMB 2013 Finale MIDI Question 2 - Solution de Corentin Simon Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2013 Finale MIDI Question 2 - Solution de Corentin Simon
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Question :

(a) Donner deux exemples où la différence des carrés de deux nombres impairs est divisible par 8.

(b) La différence des carrés de deux nombres impairs et est-elle toujours divisible par 8 ? Justifier.

(c) Donner un exemple où la différence des cubes de deux nombres impairs est divisible par 8.

(d) La différence des cubes de deux nombres impairs et est-elle toujours divisible par 8 ? Sinon, donner une condition sur et pour qu'elle le soit.



Solution de Corentin Simon :


(a)





(b)

Oui, la différence des carrés de 2 nombres impairs est toujours divisible par 8.

Soit et ,



- Si et sont pairs, est pair et est un multiple de 8.
- Si et sont impairs, est pair et est un multiple de 8.
- Si et sont de parité différente, est pair et est un multiple de 8.

(c)



(d)

Non, la différence des cubes de 2 nombres impairs n'est pas toujours divisible par 8. Par exemple: .



est une somme de trois nombres impairs. est divisible par 8 si et seulement si l'est.

La différence des cubes de deux nombres impairs est divisible par 8 si et seulement si la différence des deux nombres impairs est divisible par 8.



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