OMB - OMB 2013 Finale MIDI Question 3

OMB 2013 Finale MIDI Question 3 - Solution officielle

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Question :

(a) Soit $S$ la somme des nombres entiers de 1 à 20 et $S^\prime$ la somme des nombres entiers de 21 à 40. Que vaut $S^\prime-S$ ?

(b) Et que vaut $T^\prime-T$ si $T=1+2+\cdots+2013$ et $T^\prime=2014+2015+\cdots+4026$ ?

(c) Si $N=1+2+\cdots+n$ et $N^\prime=(n+1)+(n+2)+\cdots+2n$ , est-il vrai que $N^\prime-N$ est carré parfait quel que soit le naturel non nul $n$ ?

(d) Soit $k\geq2$ un naturel. Si $N=1+2+\dots+n$ et $N_k=(n+1)+(n+2)+\cdots+kn$ (avec $n$ naturel non nul), établir une formule exprimant $N_k$ en fonction de $N$ , $n$ et $k$ . Est-il vrai que $N_k-N$ est carré parfait quel que soit $n$ ?

Solution officielle :

(a) En utilisant la formule de somme des termes d'une suite arithmétique, on calcule que

$S = \frac{21 \cdot 20}{2} = 210$
et
$S^\prime = \frac{(21+40) \cdot 20}{2} = 610.$
Cela implique que $S^\prime - S = 400$ .

(b) Par la même formule,

$T = \frac{(2013 + 1) \cdot 2013}{2},$

$T^\prime = \frac{(2014 + 4026) \cdot 2013}{2}.$

Donc,

$T^\prime - T = \frac{2013}{2}(4026 + 2014 - 2014) = \frac{2013}{2}(2 \cdot 2013) = 2013^2.$

(c) Pour tout $n$ , $N = \frac{(n+1) \cdot n}{2}$ et $N^\prime = \frac{(3n + 1) \cdot n}{2}$ . Cela implique que $N^\prime - N = \frac{n}{2}(3n + 1 - n - 1) = n^2$ . Donc, pour tout $n$ , cette différence est égale au carré de $n$ .

(d) Comme $N_k$ est la somme des nombres consécutifs de 1 à $kn$ moins la somme des entiers de 1 à $n$ , on a

$N_k = \frac{(kn + 1)\cdot kn}{2} - N.$

Le nombre $N_k - N$ n'est pas un carré parfait quel que soit $n$ car pour $n = k = 3$ , $N_k - N = 39 - 6 = 33$ n'est pas un carré parfait.

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