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OMB 2013 Finale MIDI Question 3 - Solution officielle Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2013 Finale MIDI Question 3 - Solution officielle
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Question :

(a) Soit la somme des nombres entiers de 1 à 20 et la somme des nombres entiers de 21 à 40. Que vaut ?

(b) Et que vaut si et ?

(c) Si et , est-il vrai que est carré parfait quel que soit le naturel non nul ?

(d) Soit un naturel. Si et (avec naturel non nul), établir une formule exprimant en fonction de , et . Est-il vrai que est carré parfait quel que soit ?



Solution officielle :


(a) En utilisant la formule de somme des termes d'une suite arithmétique, on calcule que



et


Cela implique que .

(b) Par la même formule,






Donc,




(c) Pour tout , et . Cela implique que . Donc, pour tout , cette différence est égale au carré de .

(d) Comme est la somme des nombres consécutifs de 1 à moins la somme des entiers de 1 à , on a




Le nombre n'est pas un carré parfait quel que soit car pour , n'est pas un carré parfait.



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