OMB - OMB 2013 Finale MIDI Question 4 - Solution de officielle

OMB 2013 Finale MIDI Question 4 - Solution de officielle

1028 vues | Retourner à la liste des questions

Question :

(a) Le triangle de Reuleaux, construit à partir d'un triangle équilatéral, est la réunion de trois arcs de cercle d'amplitude $60^\circ$ (voir la figure de gauche). Montrer que sa largeur est la même dans toute direction (voir la figure du centre).

(b) Nous souhaitons former d'autres courbes de largeur constante, à partir d'un triangle $ABC$ dont les côtés mesurent $a=3$ , $b=4$ et $c=2$ en traçant six arcs de cercle comme dans la figure de droite : chaque côté du triangle est prolongé dans les deux sens ; chaque sommet devient le centre de deux arcs de cercle « de part et d'autre » dont les rayons, par exemple autour de $A$ , valent $x$ et $b+z$ .

   1. Pour ces valeurs de $a$ , $b$ et $c$ , montrer qu'il existe au moins un choix de valeurs de $x$ , $y$ et $z$ qui donne une courbe continue.

   2. Pour ces valeurs de $a$ , $b$ et $c$ , quels sont tous les choix de valeurs pour $x$ , $y$ et $z$ qui donnent une courbe continue ?

   3. Quel est le périmètre de la figure continue ainsi tracée ? Montrer que sa largeur est la même dans toute direction.

Solution de officielle :

(a) Positionnons notre figure entre deux droites parallèles non confondues $d_1$ et $d_2$ , et touchant la figure en un point chacune de telle sorte que le côté $BC$ du triangle original soit perpendiculaire aux droites. Comme $BC\perp d_1$ et $BC\perp d_2$ , les droites $d_1$ et $d_2$ sont tangentes au triangle de Reuleaux en $B\in d_1$ et $C\in d_2$ . Dans ce cas, la largeur du triangle de Reuleaux est la longueur d'un côté du triangle équilatéral $ABC$ . Soit $t$ la perpendiculaire à $AC$ passant par $C$ et soit $\alpha$ l'angle entre $t$ et $d_2$ (voir figure). En diminuant $\alpha$ , la figure va pivoter sur $C$ et la largeur restera constante et sera égale au rayon du cercle de centre $C$ passant par $A$ et $B$ . Quand $\alpha$ sera nul, $A$ sera sur $d_1$ . Si nous continuons à faire pivoter la figure de la sorte, $C$ quittera $d_2$ mais la figure reposera encore sur un sommet : $A$ . Ainsi, la figure repose toujours sur l'un ou l'autre sommet dans cette configuration et sa largeur est constante et égale aux longueurs des côtés du triangle équilatéral $ABC$ .

(b)
1. Pour que la courbe soit continue, il faut que les rayons des arcs soient bien déterminés. Les extrémités des arcs de centre $C$ sont à une distance de $b+x$ et $a+y$ d'une part, et à une distance de $z$ et $z$ d'autre part. Il faut donc que $b+x=a+y$ , et analoguement $c+y=b+z$ et $a+z=c+x$ . Ainsi, si on choisit par exemple $x=a$ , $y=b$ et $z=c$ , alors les trois équations sont satisfaites.

2. Résolvons le système formé par les trois équations obtenues, en remplaçant $a$ , $b$ et $c$ par leurs valeurs.

$\left\{\begin{array}4+x & =3+y\\ 2+y & =4+z\\ 3+z & =2+x\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}x-y & =-1\\ y-z & =2\\ z-x & =-1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}x & =z+1\\ y & =z+2\end{array}\right.$

Ce système linéaire est compatible et dégénéré, donc il y a une infinité de solutions en réels. Pour notre problème, toutes les solutions avec $x$ , $y$ et $z\geq0$ sont valides. Les arcs de cercles se joindront de façon continue. L'ensemble des solutions est donc donné par $\{(u+1,u+2,u)\,|\,u\geq 0\}$ .

3. Si $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ sont les angles du triangle $ABC$ en radians, le périmètre vaut

$\begin{array}{ll}P & =\arc{ D_1D_2}+\arc{D_2D_3}+\cdots+\arc{D_6D_1}\\ & = \alpha(|AD_1|+|AD_4|)+\beta(|BD_1|+|BD_4|)+\gamma(|CD_6|+|CD_3|)\\ & = \alpha(2u+5)+\beta(2u+5)+\gamma(2u+5)\\ & = (2u+5)(\alpha+\beta+\gamma)\\ & = (2u+5)\cdot\pi\end{array}$

Repartons de la définition de la largeur. Si $d_1$ touche la figure en un point $P$ qui n'est pas une extrémité d'un arc, alors elle est tangente à cet arc en $P$ . Si $X$ est le centre de cet arc, alors $XP\perp d_1$ . Donc $d_2\perp XP$ , et $d_2$ est tangente (en un point $Q$ ) à l'arc de cercle opposé à celui sur lequel se trouve $P$ . Quels que soient les arcs de cercles opposés concernés, la somme de leur rayon est toujours égale à $2u+5$ . Or, c'est aussi la largeur de la figure dans ce cas.
Si $P$ est sur une extrémité d'un arc, alors pour les deux arcs qui se rejoignent à cette extrémité, le rayon de l'arc coupe $d_1$ en $P$ perpendiculairement, donc la courbe n'est pas anguleuse en les extrémités des arcs (sauf si $u=0$ , comme au (a)). On peut donc utiliser le même argument que ci-dessus avec chacun des deux arcs. À nouveau, la largeur de la figure est donc bien $2u+5$ dans ce cas également.
La largeur de la figure est donc bien la même dans toutes les directions.

Revenir à la question

Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.