omb
Menu principal
Sujets d'articles
OMB 2013 Finale MIDI Question 4 - Solution de officielle Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2013 Finale MIDI Question 4 - Solution de officielle
535 vues  | Retourner à la liste des questions

Question :

(a) Le triangle de Reuleaux, construit à partir d'un triangle équilatéral, est la réunion de trois arcs de cercle d'amplitude (voir la figure de gauche). Montrer que sa largeur est la même dans toute direction (voir la figure du centre).



(b) Nous souhaitons former d'autres courbes de largeur constante, à partir d'un triangle dont les côtés mesurent , et en traçant six arcs de cercle comme dans la figure de droite : chaque côté du triangle est prolongé dans les deux sens ; chaque sommet devient le centre de deux arcs de cercle « de part et d'autre » dont les rayons, par exemple autour de , valent et .

   1. Pour ces valeurs de , et , montrer qu'il existe au moins un choix de valeurs de , et qui donne une courbe continue.

   2. Pour ces valeurs de , et , quels sont tous les choix de valeurs pour , et qui donnent une courbe continue ?

   3. Quel est le périmètre de la figure continue ainsi tracée ? Montrer que sa largeur est la même dans toute direction.



Solution de officielle :


(a) Positionnons notre figure entre deux droites parallèles non confondues et , et touchant la figure en un point chacune de telle sorte que le côté du triangle original soit perpendiculaire aux droites. Comme et , les droites et sont tangentes au triangle de Reuleaux en et . Dans ce cas, la largeur du triangle de Reuleaux est la longueur d'un côté du triangle équilatéral . Soit la perpendiculaire à passant par et soit l'angle entre et (voir figure). En diminuant , la figure va pivoter sur et la largeur restera constante et sera égale au rayon du cercle de centre passant par et . Quand sera nul, sera sur . Si nous continuons à faire pivoter la figure de la sorte, quittera mais la figure reposera encore sur un sommet : . Ainsi, la figure repose toujours sur l'un ou l'autre sommet dans cette configuration et sa largeur est constante et égale aux longueurs des côtés du triangle équilatéral .



(b)
1. Pour que la courbe soit continue, il faut que les rayons des arcs soient bien déterminés. Les extrémités des arcs de centre sont à une distance de et d'une part, et à une distance de et d'autre part. Il faut donc que , et analoguement et . Ainsi, si on choisit par exemple , et , alors les trois équations sont satisfaites.

2. Résolvons le système formé par les trois équations obtenues, en remplaçant , et par leurs valeurs.



Ce système linéaire est compatible et dégénéré, donc il y a une infinité de solutions en réels. Pour notre problème, toutes les solutions avec , et sont valides. Les arcs de cercles se joindront de façon continue. L'ensemble des solutions est donc donné par .

3. Si , et sont les angles du triangle en radians, le périmètre vaut



Repartons de la définition de la largeur. Si touche la figure en un point qui n'est pas une extrémité d'un arc, alors elle est tangente à cet arc en . Si est le centre de cet arc, alors . Donc , et est tangente (en un point ) à l'arc de cercle opposé à celui sur lequel se trouve . Quels que soient les arcs de cercles opposés concernés, la somme de leur rayon est toujours égale à . Or, c'est aussi la largeur de la figure dans ce cas.
Si est sur une extrémité d'un arc, alors pour les deux arcs qui se rejoignent à cette extrémité, le rayon de l'arc coupe en perpendiculairement, donc la courbe n'est pas anguleuse en les extrémités des arcs (sauf si , comme au (a)). On peut donc utiliser le même argument que ci-dessus avec chacun des deux arcs. À nouveau, la largeur de la figure est donc bien dans ce cas également.
La largeur de la figure est donc bien la même dans toutes les directions.



Revenir à la question


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Membres
Prénom :

Nom :

Mot de passe : 

Conserver la connexion

Récupérer mot de passe
Recherche
Le site officiel de l'Olympiade Mathématique Belge
Contact webmasters :