OMB - OMB 2013 Finale MAXI Question 1 - Solution de Victor Lecomte

OMB 2013 Finale MAXI Question 1 - Solution de Victor Lecomte

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Question :

Soit $a$ , $b\in\mathbb{R}$ .

(a) Si $a\neq b$ et si les nombres $a-b$ et $a^2-b^2$ sont rationnels, en est-il de même de $a+b$ ?

(b) Si les nombres $a+b$ et $a^2+b^2$ sont rationnels, en est-il de même de $a^3+b^3$ ? et de $a^4+b^4$ ?

(c) Si les nombres $a^2+b^2$ , $a^3+b^3$ et $a^4+b^4$ sont rationnels, en est-il de même de $a+b$ ?

Solution de Victor Lecomte :

Montrons d'abord que le résultat de l'addition, la soustraction ou la multiplication de deux rationnels, ainsi que de la division d'un rationnel par un rationnel non nul, est rationnel. On sait que $x\in\mathbb{Q}\Leftrightarrow\exists\, p,q\in\mathbb{Z}\, :\, q\not=0\mbox{ et }x=\frac pq$ . Donc si $p,q,r,s\in\mathbb{Z}$ avec $q\not=0$ et $s\not=0$ :
- Addition : $\frac pq+\frac rs=\frac{ps+qr}{qs}$ avec $ps+qr,qs\in\mathbb{Z}$ et $qs\not=0$
- Soustraction : $\frac pq-\frac rs=\frac{ps-qr}{qs}$ avec $ps-qr,qs\in\mathbb{Z}$ et $qs\not=0$
- Multiplication : $\frac pq\cdot\frac rs=\frac{pr}{qs}$ avec $pr,qs\in\mathbb{Z}$ et $qs\not=0$
- Division : $\frac{p/q}{r/s}=\frac{ps}{qr}$ , avec $ps,qr\in\mathbb{Z}$ et $qr\not=0$ si $r\not=0$

(a) On a $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ , soit $a+b=\frac{a^2-b^2}{a-b}$ . Or, $a^2-b^2$ est rationnel et $a-b$ rationnel non nul puisque $a\not=b$ , donc $a+b$ est rationnel également.

(b) On a $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ , donc $ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}2$ . Donc $ab$ , étant obtenu par une suite d'opérations fondamentales sur les rationnels $a+b$ , $a^2+b^2$ et $2$ , est rationnel aussi.
Ensuite, on a $a^3+b^3=\left((a^2+b^2)-ab\right)(a+b)$ , donc $a^2+b^2$ , $ab$ et $a+b$ étant rationnels, $a^3+b^3$ est rationnel.
Finalement, puisque $(a^2+b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2$ , ou $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2$ , et que $a^2+b^2$ , $ab$ et $2$ sont rationnels, on conclut que $a^4+b^4$ est rationnel.

(c) Nous allons utiliser le (b), qui est vrai pour tous réels $a$ et $b$ , en remplaçant $a$ par $a^2$ et $b$ par $b^2$ . Comme $a^2+b^2$ et $(a^2)^2+(b^2)^2=a^4+b^4$ sont rationnels, on obtient directement (voir encadrés dans (b)) que $a^2b^2$ et $(a^2)^3+(b^2)^3=a^6+b^6$ sont rationnels. Ensuite, puisque $a^3+b^3$ et $(a^3)^2+(b^3)^2=a^6+b^6$ sont rationnels, on obtient en remplaçant cette fois $a$ par $a^3$ et $b$ par $b^3$ que $a^3b^3$ est rationnel.
Supposons que $a=0$ . Dans ce cas, $b^3$ et $b^2$ doivent être rationnels, et à part si $b=0$ aussi (auquel cas $a+b=0$ est bien un rationnel), on en conclut que $a+b=b=\frac{b^3}{b^2}$ est bien rationnel. De la même manière, si $b=0$ , le résultat est bien respecté.
Nous avons donc que $ab=\frac{a^3b^3}{a^2b^2}$ est un rationnel, car $a^3b^3$ et $a^2b^2$ sont des rationnels non nuls.
Enfin, nous avons $a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}$ . Nous pouvons supposer que $a^2-ab+b^2$ est non nul, car si $a^2-ab+b^2=0$ , alors $a^3+b^3=(a^2-ab+b^2)(a+b)=0$ , et

$a^3+b^3=0\Leftrightarrow a^3=-b^3\Leftrightarrow a=-b\Leftrightarrow a+b=0,$

et dans ce cas $a+b=0$ est bien un rationnel.
Nous avons donc exprimé $a+b=\frac{a^3+b^3}{(a^2+b^2)-ab}$ sous la forme d'un quotient de rationnels dont le dénominateur est non-nul, et par conséquent $a+b$ est un rationnel.

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