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OMB 2013 Finale MAXI Question 2 - Solution de Antoine Dupuis Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2013 Finale MAXI Question 2 - Solution de Antoine Dupuis
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Question :

Une urne contient boules mauves et boules noires. Le couple d'entiers naturels est adéquat lorsque le nombre de couples de boules de couleurs différentes présents dans cette urne est égal au nombre de couples de boules distinctes mais de même couleur.

(a) Montrez que le couple est adéquat.

(b) Si , quels sont tous les couples adéquats ?

(c) Combien existe-t-il de couples adéquats ? Décrire leur ensemble.



Solution de Antoine Dupuis :


Prenons une urne avec boules mauves et boules noires. Le nombre de couples de boules de couleurs différentes dans cette urne sera . En effet, nous devrons d'abord choisir une boule mauve - pour laquelle il y a choix - puis une boule noire - pour laquelle il y a choix. Ensuite, nous devrons multiplier ce nombre par , comme on demande le nombre de "couples" de boules, et non pas le nombre de "paires" de boules. En effet, à chaque couple correspond un et un seul couple . Ainsi, le nombre total de couples de boules de couleurs différentes est .

Calculons maintenant le nombre de couples de boules distinctes mais de même couleur. Ce nombre est égal à , étant le nombre de couples de boules mauves distinctes et celui de couples de boules noires distinctes. Alors est égal au nombre de façons de choisir objets parmi en tenant compte de l'ordre :




et est égal au nombre de façons de choisir objets parmi en tenant compte de l'ordre :



Donc .

(a) Dans notre premier cas où , , on a et . On a donc bien , donc le couple est adéquat.

(b) Si , alors est adéquat si et seulement si



Ainsi, les couples adéquats où sont et .

(c) Un couple est adéquat si et seulement si



le discriminant doit pouvoir s'écrire sous la forme



pour que la solution appartienne à . En regardant cette expression modulo , on voit que est impair, donc est impair, donc est impair. On peut donc poser , où . En réinjectant ceci dans l'expression (2), cela nous donne



En revenant à l'expression (1), cela nous donne



Là, nous obtenons deux cas :

1. Soit . Ainsi, il existe tel que



Dans ce cas-là, vérifions que est bien un couple adéquat. En effet, et . Donc et le couple est bien adéquat .

2. Soit . On a donc . Nous retrouvons ici le premier cas, et étant simplement permutés. La vérification est donc analogue, et jouant des rôles symétriques.

Nous avons donc montré que tous les couples adéquats doivent s'écrire sous la forme ou inversement, avec . Nous avons aussi montré que tous les couples de cette forme sont adéquats. Nous pouvons donc conclure que l'ensemble des couples adéquats est



En particulier, il y a une infinité de couples adéquats. On remarque qu'il s'agit des couples de nombres triangulaires consécutifs.



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