OMB 2013 Finale MAXI Question 3 - Solution de Jessica Mulpas |
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Question :
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Soit un carré de côté 1 et son image par une rotation de centre . L'intersection de ces deux carrés est le quadrilatère . Par , on mène la parallèle à , qui coupe en .

(a) Quelle est l'aire du quadrilatère si est le milieu de ?
(b) Déterminer la position de sur pour que l'aire de soit la moitié de l'aire du carré initial.
(c) Déterminer la position de sur pour que l'aire de soit , , ..., de l'aire du carré initial ( étant un naturel non nul). |
Solution de Jessica Mulpas :
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(a)
Puisque , le point est sur la médiatrice de . Les carrés et de la figure ci-dessus sont donc image l'un de l'autre par la symétrie orthogonale d'axe . Le point étant l'intersection des côtés et , il appartient à cette médiatrice. La droite est donc un axe de symétrie de la figure composée des deux carrés. Ainsi, .
Les triangles et sont semblables car (angles à côtés perpendiculaires) et . Dès lors, et par Pythagore, ces triangles sont de la forme :

Puisque par symétrie , le segment se décompose comme suit:

Ainsi,
a=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow |AL|=2a=2-\sqrt{3}.)
Par symétrie, l'aire recherchée vaut le double de celle du triangle , c'est-à-dire

(b) et (c)
Puisque , on a . Dès lors

On cherche , mais
 = \sin 2\alpha=2\cos \alpha \sin \alpha=2\dfrac{|AD|}{|DL|}\frac{|AL|}{|DL|}= \dfrac{2m}{m^2+1})
Dans le cas particulier de la question (b), et la longueur recherchée est . |
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