OMB - OMB 2013 Finale MAXI Question 3 - Solution de Jessica Mulpas

OMB 2013 Finale MAXI Question 3 - Solution de Jessica Mulpas

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Question :

Soit $ABCD$ un carré de côté 1 et $A^\prime B^\prime C^\prime D$ son image par une rotation $r$ de centre $D$ . L'intersection de ces deux carrés est le quadrilatère $DALC^\prime$ . Par $C^\prime$ , on mène la parallèle à $AD$ , qui coupe $AB$ en $E$ .

(a) Quelle est l'aire du quadrilatère $DALC^\prime$ si $E$ est le milieu de $[AB]$ ?

(b) Déterminer la position de $E$ sur $[AB]$ pour que l'aire de $DALC^\prime$ soit la moitié de l'aire du carré initial.

(c) Déterminer la position de $E$ sur $[AB]$ pour que l'aire de $DALC^\prime$ soit $1/3$ , $1/4$ , ..., $1/m$ de l'aire du carré initial ( $m$ étant un naturel non nul).

Solution de Jessica Mulpas :

(a)

Puisque $|A^\prime D|=|DC|$ , le point $D$ est sur la médiatrice $m({A^\prime C})$ de $[A^\prime C]$ . Les carrés $ABCD$ et $A^\prime B^\prime C^\prime D$ de la figure ci-dessus sont donc image l'un de l'autre par la symétrie orthogonale d'axe $m({A^\prime C})$ . Le point $L$ étant l'intersection des côtés $[AB]$ et $[B^\prime C^\prime ]$ , il appartient à cette médiatrice. La droite $DL$ est donc un axe de symétrie de la figure composée des deux carrés. Ainsi, $|\widehat{ADL}|=|\widehat{LDC$ .

Les triangles $LC^\prime E$ et $C^\prime DF$ sont semblables car $|\widehat{LC^\prime E}|=|\widehat{C^\prime DF}|=\theta$ (angles à côtés perpendiculaires) et $|\widehat{LEC^\prime }|=|\widehat{C^\prime FD}|=90^\circ$ . Dès lors, $\frac{|LC^\prime |}{|C^\prime E|}=\frac{|C^\prime D|}{|DF|}=2$ et par Pythagore, ces triangles sont de la forme :

Puisque par symétrie $|AL|=|LC^\prime |$ , le segment $[AE]$ se décompose comme suit:

Ainsi,

$(2+\sqrt{3})a=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow |AL|=2a=2-\sqrt{3}.$

Par symétrie, l'aire recherchée vaut le double de celle du triangle $ALD$ , c'est-à-dire

${\cal{A}} = 2\frac{|AL|\cdot|AD|}{2}=|AL|=2-\sqrt{3}$

(b) et (c)

Puisque ${\cal{A}} = 2\frac{|AL|\cdot|AD|}{2}=|AL|$ , on a $|AL|=\frac{1}{m}$ . Dès lors

$|DL|^2=1+\frac{1}{m^2}=\frac{m^2+1}{m^2}$

On cherche $|DF|$ , mais

$|DF|=\cos \theta = \cos (\frac{\pi}{2}-2\alpha) = \sin 2\alpha=2\cos \alpha \sin \alpha=2\dfrac{|AD|}{|DL|}\frac{|AL|}{|DL|}= \dfrac{2m}{m^2+1}$

Dans le cas particulier de la question (b), $m=2$ et la longueur recherchée est $\frac{4}{5}$ .

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