omb
Menu principal
Sujets d'articles
OMB 2013 Finale MAXI Question 3 - Solution de Jessica Mulpas Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2013 Finale MAXI Question 3 - Solution de Jessica Mulpas
799 vues  | Retourner à la liste des questions

Question :

Soit un carré de côté 1 et son image par une rotation de centre . L'intersection de ces deux carrés est le quadrilatère . Par , on mène la parallèle à , qui coupe en .



(a) Quelle est l'aire du quadrilatère si est le milieu de ?

(b) Déterminer la position de sur pour que l'aire de soit la moitié de l'aire du carré initial.

(c) Déterminer la position de sur pour que l'aire de soit , , ..., de l'aire du carré initial ( étant un naturel non nul).



Solution de Jessica Mulpas :




(a)

Puisque , le point est sur la médiatrice de . Les carrés et de la figure ci-dessus sont donc image l'un de l'autre par la symétrie orthogonale d'axe . Le point étant l'intersection des côtés et , il appartient à cette médiatrice. La droite est donc un axe de symétrie de la figure composée des deux carrés. Ainsi, .

Les triangles et sont semblables car (angles à côtés perpendiculaires) et . Dès lors, et par Pythagore, ces triangles sont de la forme :



Puisque par symétrie , le segment se décompose comme suit:



Ainsi,



Par symétrie, l'aire recherchée vaut le double de celle du triangle , c'est-à-dire




(b) et (c)

Puisque , on a . Dès lors



On cherche , mais



Dans le cas particulier de la question (b), et la longueur recherchée est .



Revenir à la question


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Membres
Prénom :

Nom :

Mot de passe : 

Conserver la connexion

Récupérer mot de passe
Recherche
Le site officiel de l'Olympiade Mathématique Belge
Contact webmasters :