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OMB 2014 Finale MAXI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2014 Finale MAXI Question 4
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Un nombre-crayon est un « nombre figuré » de la forme suivante :



Par exemple, la figure qui précède montre que .

Si est un naturel non nul, une écriture-crayon de est un couple de naturels, avec , tels que .

Tout naturel non nul possède au moins une écriture-crayon, puisque .

(a) Combien d'écritures-crayons possèdent ? ? ?

(b) Combien d'écritures-crayons possède ?

(c) Exprimer le nombre d'écritures-crayon d'un naturel non nul en fonction de sa décomposition en facteurs premiers.



Solution(s) proposée(s) :


 
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Corentin Bodart
Posté le : 24/4/2014 0:43  Mis à jour : 24/4/2014



étant la décomposition en facteurs premiers et
Anonyme
Posté le : 24/4/2014 18:18  Mis à jour : 24/4/2014
n=l(k-l)+l(l+1)/2 Je me trompe?
Corentin Bodart
Posté le : 24/4/2014 18:45  Mis à jour : 26/4/2014
C'est ça. De là on a
En étudiant la parité, soit soit est pair donc tout les facteurs se retrouve dans le même facteur.
De plus, d'où
Enfin, en modulant , il est possible d'obtenir tout facteur complémentaire (pourvu qu'il soit de bonne parité) et donc .
La formule de base du nombre de diviseurs positifs est



Cependant, nous n'avons plus que 2 choix pour les d'où



Enfin, , on divise donc par 2. (Le cas où est un carré parfait et où on devrait prendre l'entiers à la moitié disparait avec les 2)
Cela devient


Anonyme
Posté le : 11/1/2015 14:18  Mis à jour : 11/1/2015
JE NE SUIS PAS CHARLIE!!!
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