OMB - OMB 2014 Finale MAXI Question 4

OMB 2014 Finale MAXI Question 4

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Un nombre-crayon est un « nombre figuré » de la forme suivante :

Par exemple, la figure qui précède montre que $60=\text{nc}(14,5)$ .

Si $n$ est un naturel non nul, une écriture-crayon de $n$ est un couple $(k,l)$ de naturels, avec $k\geq l\geq1$ , tels que $n=\text{nc}(k,l)$ .

Tout naturel non nul $n$ possède au moins une écriture-crayon, puisque $n=\text{nc}(n,1)$ .

(a) Combien d'écritures-crayons possèdent $2$ ? $8$ ? $15$ ?

(b) Combien d'écritures-crayons possède $2014$ ?

(c) Exprimer le nombre d'écritures-crayon d'un naturel non nul en fonction de sa décomposition en facteurs premiers.

Solution(s) proposée(s) :

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Corentin Bodart	Posté le : 24/4/2014 0:43 Mis à jour : 24/4/2014
$\prod_{2}^{\infty}(1+a_i)$ $p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times ..$ étant la décomposition en facteurs premiers et $p_1=2$

Anonyme	Posté le : 24/4/2014 18:18 Mis à jour : 24/4/2014
n=l(k-l)+l(l+1)/2 Je me trompe?

Corentin Bodart	Posté le : 24/4/2014 18:45 Mis à jour : 28/9/2017
C'est ça. De là on a $2n=(2k-l+1)l$ En étudiant la parité, soit $l$ soit $2k-l+1$ est pair donc tout les facteurs $2$ se retrouve dans le même facteur. De plus, $k\geq l\geq1$ d'où $2k-l+1> l$ Enfin, en modulant $k$ , il est possible d'obtenir tout facteur complémentaire (pourvu qu'il soit de bonne parité) et donc $2n$ . La formule de base du nombre de diviseurs positifs est $\prod_{i=1}^{\infty}(1+a_i)$ Cependant, nous n'avons plus que 2 choix pour les $2$ d'où $2\prod_{i=2}^{\infty}(1+a_i)$ Enfin, $2k-l+1> l$ , on divise donc par 2. (Le cas où $2n$ est un carré parfait et où on devrait prendre l'entiers $\leq$ à la moitié disparait avec les 2) Cela devient $\prod_{i=2}^{\infty}(1+a_i)$

Anonyme	Posté le : 11/1/2015 14:18 Mis à jour : 11/1/2015
JE NE SUIS PAS CHARLIE!!!

Anonyme	Posté le : 21/1/2023 12:13 Mis à jour : 21/1/2023
Ouf c'est dur mdr