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OMB 2014 Finale MIDI Question 2
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Soit le système




dans lequel , et sont entiers.

(a) Le résoudre, par rapport aux inconnues et , lorsque .

(b) Le résoudre, par rapport aux inconnues et , lorsque .

(c) Le résoudre, en général, par rapport aux inconnues , et .



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 25/4/2014 18:29  Mis à jour : 25/4/2014
Un peu exagéré le c pour des élèves de troisième !
Anonyme
Posté le : 11/1/2015 14:21  Mis à jour : 11/1/2015
mais ouaiiiii hein ntm
Anonyme
Posté le : 17/6/2015 11:04  Mis à jour : 17/6/2015
Commençons par le point (c). Il n'y a pas de condition d'existence et on peut réécrire la première équation ainsi :

Puisque le premier membre est un nombre entier positif ou nul, les valeurs entières permises de appartiennent à l'ensemble .
Reste à envisager les 3 cas, ce qui permet de répondre aux question (a) et (b) du même coup :
(b) Pour , on a qui n'est pas un entier, donc ce cas est à rejeter et il n'y a pas de couple solution du système pour .
Pour , on a qui n'est pas un entier, à rejeter donc.
Pour , on a , il reste à calculer les 4 seules solutions :
(a) Pour , on a et .
On obtient les couples et .
Pour , on obtient et .
On obtient les couples et .
Les solutions sont donc :
. On remarque que si est solution pour une valeur donnée de , alors l'est aussi pour la même valeur de , ce qu'on pouvait déclarer au vu de la symétrie dans les équations : le système obtenu en permutant et est équivalent.
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