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OMB 2014 Finale MIDI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2014 Finale MIDI Question 3
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Soit , deux naturels non nuls. On construit un hexagone dont les angles sont de et dont les côtés mesurent alternativement et . Cet hexagone est pavé par des triangles équilatéraux de côté , et tous les sommets de ces triangles sont marqués.



(a) Combien a-t-on marqué de points, lorsque et ?

(b) Combien a-t-on marqué de points, dans le cas général ?



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 25/4/2014 18:28  Mis à jour : 25/4/2014
A) 288 points
B) 9(m+n-2)
Anonyme
Posté le : 25/4/2014 18:38  Mis à jour : 25/4/2014
Je pense que la formule n'est pas bonne . Il suffit de regarder le dessin où m = 6 et n = 3 et on constate que cela ne correspond pas au nombre de points marqués
Anonyme
Posté le : 21/5/2014 11:06  Mis à jour : 21/5/2014
Existe-t-il une solution officielle ?
Anonyme
Posté le : 16/12/2014 8:49  Mis à jour : 16/12/2014
a) 910 points
b) ( m² +n² + 4 m n + 3 n + 3 n +2 ) /2
Anonyme
Posté le : 20/12/2014 13:51  Mis à jour : 20/12/2014
modification de la réponse b)
( m² + n² + 4 m n + 3 m + 3 n + 2 ) / 2
Anonyme
Posté le : 21/4/2015 21:34  Mis à jour : 21/4/2015
Personnellement, je suis arrivé à
m²+ n²+ 4mn -3m -9n +2 ...Le tout divisé par 2.

Me suis-je trompé quelque part ?
Avant de simplifier, j'ai, pour le grand triangle (en rajoutant les trois coins "coupés")

(m+2n-2)(m+2n-1)/2

et pour enlever les 3 coins

-3(n-1)(n)

ce qui fait

-3(n²+n)
Voilà ...
Corentin Bodart
Posté le : 25/4/2015 19:35  Mis à jour : 25/4/2015
En fait, le triangle complété a un coté de longueur .
Il contient donc



points.

Ensuite, on enlève les 3 petits triangles et donc



points.

Finalement, il reste



points.

Ce qu'il faut en retenir pour la finale approchante, c'est que


Anonyme
Posté le : 30/4/2016 21:33  Mis à jour : 30/4/2016
Attention Corentin !
Les triangles à enlever sont de " côté " n-1.
Donc, ce qui est à enlever est 3n(n-1)/2.
Néanmoins le résultat final est correct.
Anonyme
Posté le : 30/4/2016 21:38  Mis à jour : 30/4/2016
JE RETIRE MON COMMENTAIRE : m et n sont les longueurs des côtés et non le nombre de points qu'ils contiennent.
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