Soit
un nombre de la suite, alors la somme des chiffres de
doit être divisible par
.
a) En effet, la somme des chiffres de
est divisible par
.
b) On cherche les nombres constitués de
chiffres
exclusivement (
) et tels que
+4=3k+2k-1)
est divisible par
, donc si
l'est. On confirme que c'est vrai pour
et on voit que c'est également vrai pour tout
)
où
est un nombre naturel. Les nombres contenant exclusivement
chiffres
appartiennent à la suite.
c) Puisque
et
, la même règle qu'en b) s'applique pour
et
: ajouter un
ou un
au nombre a le même effet que d'ajouter un
pour la divisibilité par
. Partant des nombres
et
qui font partie de la suite, il faut et il suffit également que le nombre de chiffres soit égal à
,
naturel.
On a en outre vu au point a) que
faisait partie de la suite. C'est en fait le premier nombre constitué uniquement de
qui en fait partie. Comme il suffit d'ajouter 3 fois le chiffre
, tous les nombres constitués de
chiffres
exclusivement, avec
,
naturel, en font également partie.
Et comme
et
, la même règle s'applique pour les nombres constitués de
ceux constitués de
, les premiers de la liste étant
et
respectivement, les nombres doivent avoir
chiffres, respectivement.
Pour
, ça ne marche pas, car
+2=3k-1)
n'est divisible par 3 pour aucune valeur de
.
Idem pour
et
car ni
+5=6k-1)
, ni
ne sont divisible par 3.
