OMB - OMB 2015 Finale MIDI Question 2

OMB 2015 Finale MIDI Question 2

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À la course à pieds, une séquence d'entrainement « pyramidale de degré $n$ » ( $n$ naturel non nul) est une alternance d'épisodes de course et d'épisodes de repos, commençant par un épisode de course et se terminant par un épisode de repos ; les épisodes de repos ont tous la même durée : $k$ minutes ; par contre, les durées des épisodes de course croissent d'une minute à $n$ minutes par pas d'une minute, puis décroissent jusqu'à une minute, toujours par pas d'une minute. Par exemple, dans une séquence pyramidale de degré $3$ , les durées des épisodes de course sont : $1$ , $2$ , $3$ , $2$ , $1$ minutes, dans cet ordre.

a) Si la durée du repos est d'une minute,
     i. Quelle est la durée d'une séquence d'entrainement pyramidale de degré $4$ ?
     ii. Exprimer en fonction de $n$ la durée d'une séquence d'entrainement pyramidale de degré $n$ .
     iii. Quel est le degré des séquences pyramidales dont la durée totale vaut la moitié de celle de la séquence pyramidale du degré suivant ?

b) Quelle devrait être la durée $k$ du repos pour que, lors d'une séquence d'entrainement de degré $n$ , le temps total de repos soit égal à la moitié du temps de course ?

c) Quelles sont les valeurs de $n$ pour lesquelles le temps $k$ obtenu ci-dessus est un nombre naturel ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 12/1/2016 22:07 Mis à jour : 12/1/2016
a) i. 1+1+2+1+3+1+4+1+3+1+2+1+1 =23

Anonyme	Posté le : 2/8/2020 0:16 Mis à jour : 2/8/2020
(a) Soient k=1 et n un nombre naturel non nul. i et ii. Le temps de course vaut 1+2+3+...+n-1+n+n-1+...+3+2+1 = n + 2(1+2+3+...+n-1) = n + 2[(n-1)(1+n-1)/2] = n + n² - n = n² (à l'aide de la formule de la somme d'une suite arithmétique, ici de raison 1 et ayant n-1 termes). Comme il y a 2n-1 repos, nous avons comme temps de repos (2n-1)k = 2n-1. Ainsi, la durée totale est n²+2n-1. On vérifie bien que pour n=4, la durée totale vaut 23 minutes. iii. Nous cherchons n tel que 2(n²+2n-1) = (n+1)²+2(n+1)-1, d'où après quelques développements, n²=4 puis n=2 (car n>0). (b) On doit avoir (2n-1)k = n²/2 et donc, k = n²/(4n-2) (c) En considérant les cas n pair et n impair, on montre très facilement que le numérateur et le dénominateur (qui lui est différent de 1 pour tout n>0) de la fraction obtenue en (b) sont de parités différentes. Il s'ensuit que k est toujours une fraction irréductible et donc, n'est pas un nombre naturel. (résolu par Julien ROBE)

Anonyme	Posté le : 2/8/2020 0:25 Mis à jour : 2/8/2020
Je suppose que la fraction obtenue en (b) est supposée simplifiée au maximum...

Anonyme	Posté le : 2/8/2020 0:29 Mis à jour : 2/8/2020
Oui, tout-à-fait !