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OMB 2015 Finale MIDI Question 2
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À la course à pieds, une séquence d'entrainement « pyramidale de degré » ( naturel non nul) est une alternance d'épisodes de course et d'épisodes de repos, commençant par un épisode de course et se terminant par un épisode de repos ; les épisodes de repos ont tous la même durée : minutes ; par contre, les durées des épisodes de course croissent d'une minute à minutes par pas d'une minute, puis décroissent jusqu'à une minute, toujours par pas d'une minute. Par exemple, dans une séquence pyramidale de degré , les durées des épisodes de course sont : , , , , minutes, dans cet ordre.

a) Si la durée du repos est d'une minute,
     i. Quelle est la durée d'une séquence d'entrainement pyramidale de degré ?
     ii. Exprimer en fonction de la durée d'une séquence d'entrainement pyramidale de degré .
     iii. Quel est le degré des séquences pyramidales dont la durée totale vaut la moitié de celle de la séquence pyramidale du degré suivant ?

b) Quelle devrait être la durée du repos pour que, lors d'une séquence d'entrainement de degré , le temps total de repos soit égal à la moitié du temps de course ?

c) Quelles sont les valeurs de pour lesquelles le temps obtenu ci-dessus est un nombre naturel ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 12/1/2016 22:07  Mis à jour : 12/1/2016
a)
i. 1+1+2+1+3+1+4+1+3+1+2+1+1 =23
Anonyme
Posté le : 2/8/2020 0:16  Mis à jour : 2/8/2020
(a) Soient k=1 et n un nombre naturel non nul.

i et ii. Le temps de course vaut 1+2+3+...+n-1+n+n-1+...+3+2+1 = n + 2*(1+2+3+...+n-1) = n + 2*[(n-1)*(1+n-1)/2] = n + n² - n = n² (à l'aide de la formule de la somme d'une suite arithmétique, ici de raison 1 et ayant n-1 termes). Comme il y a 2n-1 repos, nous avons comme temps de repos (2n-1)*k = 2n-1. Ainsi, la durée totale est n²+2n-1.

On vérifie bien que pour n=4, la durée totale vaut 23 minutes.

iii. Nous cherchons n tel que 2*(n²+2n-1) = (n+1)²+2(n+1)-1, d'où après quelques développements, n²=4 puis n=2 (car n>0).

(b) On doit avoir (2n-1)*k = n²/2 et donc, k = n²/(4n-2)

(c) En considérant les cas n pair et n impair, on montre très facilement que le numérateur et le dénominateur (qui lui est différent de 1 pour tout n>0) de la fraction obtenue en (b) sont de parités différentes. Il s'ensuit que k est toujours une fraction irréductible et donc, n'est pas un nombre naturel.


(résolu par Julien ROBE)
Anonyme
Posté le : 2/8/2020 0:25  Mis à jour : 2/8/2020
Je suppose que la fraction obtenue en (b) est supposée simplifiée au maximum...
Anonyme
Posté le : 2/8/2020 0:29  Mis à jour : 2/8/2020
Oui, tout-à-fait !
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