OMB - OMB 2015 Finale MIDI Question 4

OMB 2015 Finale MIDI Question 4

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Soit $a$ et $b$ deux naturels non nuls tels que $c=a+b-2\sqrt{ab+1}$ soit entier.

a) Pour quelles (éventuelles) valeurs de $a$ et $b$ l'entier $c$ est-il strictement négatif ?

b) Pour quelles (éventuelles) valeurs de $a$ et $b$ l'entier $c$ prend-il la valeur $75$ ?

c) Pour quelles (éventuelles) valeurs de $a$ et $b$ l'entier $c$ est-il premier ?

Solution(s) proposée(s) :

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Corentin Bodart	Posté le : 11/5/2015 20:00 Mis à jour : 21/5/2015
a) $\begin{array}<br />0 & > & a+b-2\sqrt{ab+1} \\<br />\leftrightarrow 2\sqrt{ab+1} & > & a+b \\<br />\leftrightarrow\;4ab+4 & > & a^ 2+2ab+b^2 \\<br />\leftrightarrow\;\;\;\quad 0 \quad\quad\quad & > & a^2 -2ab +b^2-4 \\<br />\leftrightarrow\;\;\;\quad 0 \quad\quad\quad & > & (a-b-2)(a-b+2) \\<br />\leftrightarrow\;\; a-b & \in & \{-1;\,0;\,1\}<br />\end{array}$ Cependant, si $a+1=b$ , $a^2<ab+1=a^2+a+1<(a+1)^2$ Ainsi, $ab+1$ étant strictement borné par deux carrés consécutifs, $c$ ne peut pas être entier. De même, si $a=b$ , $a^2<a^2+1<(a+1)^2$ En bref, $c$ n'est jamais strictement négatif. b) et c) L'énoncé étant symétrique en $a$ et $b$ et ayant déjà prouver que le cas $a=b$ ne conduisait pas à un $c$ entier, nous pouvons poser spdg $b>a$ . $\begin{array}<br />c & = & a+b-2\sqrt{ab+1}\\<br />\leftrightarrow 2\sqrt{ab+1} & = & a+b-c \\<br />\leftrightarrow 4ab+4 & = & a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac\\<br />\leftrightarrow 4bc+4 & = & a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac\\<br />\leftrightarrow 4(bc+1) & = & (b+c-a)^2\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\text{(1)}\\<br />\leftrightarrow 2\sqrt{bc+1} & = & \|b+c-a\| = b+c-a \quad\quad\quad(b>a)\\<br />\leftrightarrow a & = & b+c-2\sqrt{bc+1}<br />\end{array}$ Avec la condition que $a+b>c$ (2-3e ligne). Il ne reste plus qu'à prendre $b$ et $c$ tq $bc+1=x^2$ Puis $a$ tq $a=b+c-2x$ b) On a $c=75$ et donc $x^2=75y+1$ Ou encore $x=75z\pm1\;\;\text{OU}\;\;x=75z\pm26$ On a donc $b=75z^2+2z\;\rightarrow a=75z^2-148z+73$ (Avec $z>1$ car sinon, $ab=0$ ) OU $b=75z^2-2z\;\rightarrow a=75z^2-152z+77$ (Avec $z>1$ car sinon, $ab=0$ ) OU $b=75z^2+52z+9\;\rightarrow a=75z^2-98z+32$ (Avec $z\neq0$ sinon $a+b=32+9<75=c$ ) OU $b=75z^2-52z+9\;\rightarrow a=75z^2-202z+136$ (Avec $z\neq0$ sinon $b<a$ et $z\neq1$ sinon $a+b<c$ )) On vérifie longuement que tout ces couples mènent à la bonne solution. Bien sur, leurs symétriques sont également solutions. c) On a $c=p$ et donc $x^2=py+1$ Ou encore $x=pz\pm1$ On a donc $b=pz^2+2z\;\rightarrow a=pz^2+2z-2pz+p-2$ (Avec $z>1$ sinon $a=0$ ) OU $b=pz^2-2z\;\rightarrow a=pz^2-2z-2pz+p+2$ (Avec $z>1$ sinon $a=0$ ) On vérifie aisément. De nouveau, leurs symétriques sont également solutions. NB1 : Pour déterminer la forme de la division euclidienne de $x$ par $c$ , j'ai utilisé des modulos et le théorème des restes chinois. Cependant, de nombreux raisonnements 'intuitifs' peuvent également y mener. NB2 : Il me semble que cette résolution est un peu trop compliquée pour des miDi. Edit : J'ai un peu remodelé la solution pour n'utiliser que de la matière miDi. Des discriminants/réalisants sont tout de même très intéressants.