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OMB 2015 Finale MIDI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2015 Finale MIDI Question 4
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Soit et deux naturels non nuls tels que soit entier.

a) Pour quelles (éventuelles) valeurs de et l'entier est-il strictement négatif ?

b) Pour quelles (éventuelles) valeurs de et l'entier prend-il la valeur ?

c) Pour quelles (éventuelles) valeurs de et l'entier est-il premier ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Corentin Bodart
Posté le : 11/5/2015 20:00  Mis à jour : 21/5/2015
a)



Cependant, si ,



Ainsi, étant strictement borné par deux carrés consécutifs, ne peut pas être entier.
De même, si ,




En bref, n'est jamais strictement négatif.

b) et c) L'énoncé étant symétrique en et et ayant déjà prouver que le cas ne conduisait pas à un entier, nous pouvons poser spdg .





Avec la condition que (2-3e ligne).

Il ne reste plus qu'à prendre et tq



Puis tq





b) On a et donc



Ou encore



On a donc



(Avec car sinon, )
OU



(Avec car sinon, )
OU



(Avec sinon )
OU



(Avec sinon et sinon ))

On vérifie longuement que tout ces couples mènent à la bonne solution. Bien sur, leurs symétriques sont également solutions.


c) On a et donc



Ou encore



On a donc



(Avec sinon )
OU



(Avec sinon )

On vérifie aisément. De nouveau, leurs symétriques sont également solutions.

NB1 : Pour déterminer la forme de la division euclidienne de par , j'ai utilisé des modulos et le théorème des restes chinois. Cependant, de nombreux raisonnements 'intuitifs' peuvent également y mener.
NB2 : Il me semble que cette résolution est un peu trop compliquée pour des miDi.

Edit : J'ai un peu remodelé la solution pour n'utiliser que de la matière miDi. Des discriminants/réalisants sont tout de même très intéressants.
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