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OMB 2015 Finale MAXI Question 1
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d'inconnues réelles , , .



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 30/4/2015 13:37  Mis à jour : 30/4/2015
On met au carré, et on réarrange:
x²-z²=y-2z+1
y²-x²=z-2x+1
z²-y²=x-2y+1

On somme le tout, ce qui élimine les puissances 2:
==> x+y+z=3 (*)

Ensuite on remarque que x, y & z sont réels donc les arguments des racines carrés sont positifs:
x²>=y
y²>=z
z²>=x
==> y,z,x >= 0
==> jamais de changement de signe si on met au carré

x²>=y
y²>=z
z²>=x
==> en combinant les 3 on obtient
(Puissance8 de x) >= x
(Puissance8 de y) >= y
(Puissance8 de z) >= z
Cela est vrai si x, y, z >=1 (**)

Seule la solution x=1, y=1, z=1 fonctionne pour * et **.

Bertil
Corentin Bodart
Posté le : 30/4/2015 16:03  Mis à jour : 30/4/2015
Plus directement :
Les membres de gauche sont positifs ou nuls (ce sont des radicaux).
Afin que ce soit également le cas des membres de droite, nous devons donc avoir


Anonyme
Posté le : 30/4/2015 17:57  Mis à jour : 30/4/2015
en mettant au carré les equations du système on a:
x²-y = z² + 1 - 2z
y²-z = x² + 1 - 2x
z²-x = y² + 1 - 2y

en sommant ces 3 équations:

(x²+y²+z²) - (x+y+z)= (x²+y²+z²) + 3 - 2(x+y+z)
(x+y+z)=3

Maintenant en sommant les équations originales du système on a:
sqrt(x²-y)+sqrt(y²-z)+sqrt(z²-x) = (x+y+z)-3
---->sqrt(x²-y) + sqrt(y²-z) + sqrt(z²-x) =0
comme une racine carrée est >=0
on ne peut avoir que x²-y= y²-z = z²-x = 0----------->x=y=z=1
Anonyme
Posté le : 4/5/2015 9:14  Mis à jour : 4/5/2015
@ Corentin:
C'est juste. J'avais oublié que la racine carrée était une fonction et que par définition son résultat est toujours positif.

Bertil
Anonyme
Posté le : 25/7/2015 17:30  Mis à jour : 25/7/2015
Les membres de gauches sont tous des radicaux, ce qui implique que les membres de droites sont positifs.

Les conditions d'existence des membres de gauches
impliquent que
et donc tous les membres sont égaux.
En mettant membre à membre, ,
Les solutions sont donc $(x, y, z) = (1, 1, 1)
Anonyme
Posté le : 25/7/2015 17:35  Mis à jour : 25/7/2015
Les membres de gauches sont tous des radicaux, ce qui implique que les membres de droites sont positifs.

Les conditions d'existence des membres de gauches
impliquent que
x^2 = x = y^2 = y = z^2 = z(x, y, z) = (1, 1, 1)$
Anonyme
Posté le : 25/7/2015 17:40  Mis à jour : 25/7/2015
Les membres de gauches sont tous des radicaux, ce qui implique que les membres de droites sont positifs.

Les conditions d'existence des membres de gauches
impliquent que les membres sont égaux entre-eux.

En mettant membre à membre l'intérieur des racines;

Les solutions sont donc
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