OMB - OMB 2015 Finale MAXI Question 3

OMB 2015 Finale MAXI Question 3

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L'inégalité

$x^3+y^3\;\leq\; x^3\sqrt[3]{\frac{x}{y}}+y^3\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$

est-elle vraie pour tous les réels strictement positifs $x$ et $y$ ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 12/5/2015 22:44 Mis à jour : 12/5/2015
X=0.8 et y=0.1, alors ce n est pas vrai pour tous.

Anonyme	Posté le : 12/5/2015 22:48 Mis à jour : 12/5/2015
On peut choisir $x \ge y$ et l.inegalite est vrai par AM GM.

Corentin Bodart	Posté le : 12/5/2015 23:31 Mis à jour : 12/5/2015
Juste pour information, on a bien $0,513\le1,0245$ pour les valeurs données. Ensuite, AM-GM est bien une manière de résoudre ce problème : $\frac{\overbrace{x^{\frac{10}{3}}y^{-\frac13}+\ldots+x^{\frac{10}{3}}y^{-\frac13}}^{\text{10 fois}}+x^{-\frac13}y^{\frac{10}{3}}}{11}\ge\sqrt[11]{\underbrace{x^{\frac{10}{3}}y^{-\frac13}\cdot\ldots\cdot x^{\frac{10}{3}}y^{-\frac13}}_{\text{10 fois}}\cdot x^{-\frac13}y^{\frac{10}{3}}}=x^3$ On obtient une inégalité similaire pour $y^3$ . Enfin, on les additionne pour atteindre l'inégalité demandée.

Anonyme	Posté le : 28/5/2015 11:15 Mis à jour : 28/5/2015
Bonjour, Pour ma part, je suis parti de $x^3[1-(\frac{x}{y})^{1/3}]\leq y^3[(\frac{y}{x})^{1/3}-1]$ puis après division membre à membre par $y^3>0$ puis en posant $u=(\frac{x}{y})^{1/3}>0$ , on obtient $u^{10} (1-u)\leq 1-u$ donc $(u-1)(u^{10}-1)\geq 0$ donc $(u-1)^2\sum_{k=0}^9 u^k\geq 0$ Le premier facteur est positif et le second est strictement positif. La proposition finale est équivalente à celle de l'énoncé, donc la réponse est oui.

Damien Galant	Posté le : 28/5/2015 19:16 Mis à jour : 28/5/2015
C'est à la fois élémentaire et élégant, bravo !

Anonyme	Posté le : 13/5/2022 22:45 Mis à jour : 13/5/2022
Nous devons vérifier l'inégalité pour x>0 et y>0. Divisons les deux membres par y^3 et posons a^3 = x/y (>0). L'inégalité devient : a^9 + 1 =< a^10 + 1/a D'où, 0 =< a^11 - a^10 - a +1 Ou encore : 0 =< (a-1)².(a^9+a^8+...+a+1) qui est toujours vraie, vu que a est défini positif.