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OMB 2015 Finale MAXI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2015 Finale MAXI Question 3
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L'inégalité




est-elle vraie pour tous les réels strictement positifs et ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 12/5/2015 22:44  Mis à jour : 12/5/2015
X=0.8 et y=0.1, alors ce n est pas vrai pour tous.
Anonyme
Posté le : 12/5/2015 22:48  Mis à jour : 12/5/2015
On peut choisir et l.inegalite est vrai par AM GM.
Corentin Bodart
Posté le : 12/5/2015 23:31  Mis à jour : 12/5/2015
Juste pour information, on a bien pour les valeurs données.

Ensuite, AM-GM est bien une manière de résoudre ce problème :



On obtient une inégalité similaire pour .
Enfin, on les additionne pour atteindre l'inégalité demandée.
Anonyme
Posté le : 28/5/2015 11:15  Mis à jour : 28/5/2015
Bonjour,
Pour ma part, je suis parti de


puis après division membre à membre par puis en posant , on obtient


donc
donc
Le premier facteur est positif et le second est strictement positif. La proposition finale est équivalente à celle de l'énoncé, donc la réponse est oui.
Damien Galant
Posté le : 28/5/2015 19:16  Mis à jour : 28/5/2015
C'est à la fois élémentaire et élégant, bravo !
Anonyme
Posté le : 13/5/2022 22:45  Mis à jour : 13/5/2022
Nous devons vérifier l'inégalité pour x>0 et y>0.
Divisons les deux membres par y^3 et posons a^3 = x/y (>0).
L'inégalité devient : a^9 + 1 =< a^10 + 1/a
D'où, 0 =< a^11 - a^10 - a +1
Ou encore : 0 =< (a-1)².(a^9+a^8+...+a+1) qui est toujours vraie, vu que a est défini positif.
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