Bonjour,
Pour a), je propose :
- tracer un demi-cercle de diamètre [M,B] et choisir D sur ce demi-cercle (le triangle MDB est rectangle en D) ;
- reporter |MB|=|AM| sur la droite diamétrale, on obtient A ;
- reporter |MD| sur MD pour définir C' : MBC' est un triangle isocèle en B dont la hauteur BD est aussi une médiane et une bissectrice ;
- C est sur la droite BC' ainsi que sur la droite AD.

b) Soient O symétrique de C par rapport à BD sur le côté BA et O' tel que O'M // BC.
Posons MO'A = BOD = BCD = b et 2 CBD = O'MA = 2a.
Dès lors, on a BMD = DMO = 90° - a (triangle BDM rectangle) et DMO = O'MD car O'MA + O'MD + DMO = 180° <-> 2a + O'MD + 90° - a = 180° <-> O'MD = 90° - a.
Ainsi, les triangles MO'D et MOD sont isométriques car ils ont deux angles égaux (O'MD et MO'D sont égaux respectivement à OMD et MOD) et un côté MD en commun. En particulier, on a O'M = OM.
Or, BC = 2 O'M (Thalès par construction) et OB = BC (par construction). Nous avons donc, BM = OB + OM <-> BM = BC + 1/2 BC <-> AB = 3 BC

Pour le b), je propose une méthode SINUS :-D :

Par hypothèse, l'angle ABD est isométrique à l'angle DBE (=a),

Posons b l'angle BDC. BCD sera alors égal à 180°-(a+b).

Comme BDM=90°, BMD=90°-a (angle complémentaire dans un triangle rectangle).

BDC + BDM + MDA = 180°,

<-> MDA = 90°-b.

De plus,

BMD + AMD = 180°

<-> AMD = 90°-a.

Ce qui entraine que MAD = b-a.
Maintenant que nous avons tous les angles, travaillons sur nos lois des Sinus.

Pour faciliter les écriture, posons x=|AM|=|BM|.

(1)<-> x = b/cos(a) = |MD|

(2)<-> x/cos(b) = |AD|/cos(a) = |MD|/sin(b-a)

En combinant ces deux équations, on trouve:

|MD|/x = sin(a) = sin(b-a)/cos(b)

<-> 2tg(a) = tg(b)

(Je passe les détails trigonométriques qui sont laissés à titre d'exercice au lecteur).

Une dernière équation dans le grand triangle ABC:

|BC|/sin(b-a) = |AC|/sin(2a) = |AB|/sin(a+b)

De cette équation, nous pouvons extraire le rapport recherché. A savoir:

|AB|/|BC| = sin(a+b)/sin(b-a)

<-> |AB|/|BC| = (sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b))/(sin(b)cos(a)-cos(b)sin(a)).

En divisant le numérateur et le dénominateur par cos(a)cos(b), on obtient l'égalité suivante:

|AB|/|BC| = (tan(a)+tan(b))/(tan(b)-tan(a)) = 3tan(a)/tan(a) = 3.

CQFD.

(flemme de relire, il est tard. Il y a donc peut être une ou deux erreurs).

ta geule fdp tu pu la merd rent ché ta mèr

Ta geule twa maime toute fasson cé mwa le maiyeur fisse deu put

octogone demain 7:00 fdp

Deu toute fasson ma maire ma toujour di de ne pa aicouté lé fdp

arrête de copier Cyprien petit con

miroir

pcq elle avait peur que tu te reconnaisses

bazooka