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OMB 2015 Finale MAXI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2015 Finale MAXI Question 4
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Dans le triangle , le point est le milieu de et est le pied de la bissectrice de l'angle . De plus, .

a) Indiquer comment construire (à la règle et au compas) un tel triangle.

b) Démontrer que .

c) La condition est-elle nécessaire pour que ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 20/5/2015 16:57  Mis à jour : 20/5/2015
Bonjour,
Pour a), je propose :
- tracer un demi-cercle de diamètre [M,B] et choisir D sur ce demi-cercle (le triangle MDB est rectangle en D) ;
- reporter |MB|=|AM| sur la droite diamétrale, on obtient A ;
- reporter |MD| sur MD pour définir C' : MBC' est un triangle isocèle en B dont la hauteur BD est aussi une médiane et une bissectrice ;
- C est sur la droite BC' ainsi que sur la droite AD.
Anonyme
Posté le : 17/4/2021 2:00  Mis à jour : 17/4/2021
b) Soient O symétrique de C par rapport à BD sur le côté BA et O' tel que O'M // BC.
Posons MO'A = BOD = BCD = b et 2 CBD = O'MA = 2a.
Dès lors, on a BMD = DMO = 90° - a (triangle BDM rectangle) et DMO = O'MD car O'MA + O'MD + DMO = 180° <-> 2a + O'MD + 90° - a = 180° <-> O'MD = 90° - a.
Ainsi, les triangles MO'D et MOD sont isométriques car ils ont deux angles égaux (O'MD et MO'D sont égaux respectivement à OMD et MOD) et un côté MD en commun. En particulier, on a O'M = OM.
Or, BC = 2 O'M (Thalès par construction) et OB = BC (par construction). Nous avons donc, BM = OB + OM <-> BM = BC + 1/2 BC <-> AB = 3 BC
Anonyme
Posté le : 17/4/2021 2:14  Mis à jour : 17/4/2021
Pour le b), je propose une méthode SINUS :-D :

Par hypothèse, l'angle ABD est isométrique à l'angle DBE (=a),

Posons b l'angle BDC. BCD sera alors égal à 180°-(a+b).

Comme BDM=90°, BMD=90°-a (angle complémentaire dans un triangle rectangle).

BDC + BDM + MDA = 180°,

<-> MDA = 90°-b.

De plus,

BMD + AMD = 180°

<-> AMD = 90°-a.

Ce qui entraine que MAD = b-a.
Maintenant que nous avons tous les angles, travaillons sur nos lois des Sinus.

Pour faciliter les écriture, posons x=|AM|=|BM|.

(1)<-> x = b/cos(a) = |MD|

(2)<-> x/cos(b) = |AD|/cos(a) = |MD|/sin(b-a)

En combinant ces deux équations, on trouve:

|MD|/x = sin(a) = sin(b-a)/cos(b)

<-> 2tg(a) = tg(b)

(Je passe les détails trigonométriques qui sont laissés à titre d'exercice au lecteur).

Une dernière équation dans le grand triangle ABC:

|BC|/sin(b-a) = |AC|/sin(2a) = |AB|/sin(a+b)

De cette équation, nous pouvons extraire le rapport recherché. A savoir:

|AB|/|BC| = sin(a+b)/sin(b-a)

<-> |AB|/|BC| = (sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b))/(sin(b)cos(a)-cos(b)sin(a)).

En divisant le numérateur et le dénominateur par cos(a)cos(b), on obtient l'égalité suivante:

|AB|/|BC| = (tan(a)+tan(b))/(tan(b)-tan(a)) = 3tan(a)/tan(a) = 3.

CQFD.

(flemme de relire, il est tard. Il y a donc peut être une ou deux erreurs).
Anonyme
Posté le : 17/4/2021 2:14  Mis à jour : 17/4/2021
ta geule fdp tu pu la merd rent ché ta mèr
Anonyme
Posté le : 17/4/2021 2:17  Mis à jour : 17/4/2021
Ta geule twa maime toute fasson cé mwa le maiyeur fisse deu put
Anonyme
Posté le : 17/4/2021 2:18  Mis à jour : 17/4/2021
octogone demain 7:00 fdp
Anonyme
Posté le : 17/4/2021 2:19  Mis à jour : 17/4/2021
Deu toute fasson ma maire ma toujour di de ne pa aicouté lé fdp
Anonyme
Posté le : 17/4/2021 2:19  Mis à jour : 17/4/2021
arrête de copier Cyprien petit con
Anonyme
Posté le : 17/4/2021 2:20  Mis à jour : 17/4/2021
miroir
Anonyme
Posté le : 17/4/2021 2:20  Mis à jour : 17/4/2021
pcq elle avait peur que tu te reconnaisses
Anonyme
Posté le : 17/4/2021 2:20  Mis à jour : 17/4/2021
bazooka
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