| OMB 2016 Finale MINI Question 3 |
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Le plan, muni d'un repère orthonormé d'origine  , est quadrillé par des droites parallèles aux axes de coordonnées et passant par tous les points à coordonnées entières. Sur ce quadrillage, on dessine, en partant de vers le bas, une ligne spiralée  qui tourne dans le sens opposé à celui des aiguilles d'une montre, comme indiqué ci-contre.
Pour tout point  à coordonnées entières, on note ) la longueur de la portion de qui va du point au point ; par exemple, =4) .
a) Soit un point de l'axe des abscisses tel que  . Quelles sont les valeurs possibles pour ?
b) Exprimer ) , ) , ) et en général ) , où ) avec  naturel.
c) Exprimer ) , où ) avec naturel.
d) Calculer lorsque ) .
e) Déterminer les coordonnées du point  tel que =2016) . |
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| Solution(s) proposée(s) : |
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| Anonyme |
Posté le : 22/10/2016 2:12 Mis à jour : 22/10/2016 |
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Bonjour,
a) il suffit de compter pour les positions 3 et -3 sur l'axe x --> 33 (pour M=+3) et 45 pour (M=-3). Plus généralement, c'est 4M²-M si M est positif et 4M²-3M si M est négatif.
b) la taille de chaque segment est identique 2 fois de suite, puis augmente de 1. Le dernier segment mesure 2 fois i. Donc L = 2i + somme (sur n allant de 1 à 2i-1) de 2n. Cette expression peut être réduite en L=(2i)²+4i soit L= 4(i²+i)
c) ici, 2 fois de suite la même longueur et 3 fois la dernière correspondant à 2i --> L=4i²
d) pour L(M) en avec M=(2015,2016) correspond à 1+L(m) avec m=(2016,2016) soit "16 257 025"
e) il faut la formule générale et je manque d'inspiration
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| Anonyme |
Posté le : 8/2/2017 20:15 Mis à jour : 8/2/2017 |
C est pas très facile mais possible  |
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| Anonyme |
Posté le : 19/2/2023 10:39 Mis à jour : 19/2/2023 |
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a)27;33;39;45
b)8;24;48;Pi=2.(1+2+3+…+2i+i)
c)Qi=2.(1+2+3+…+(2i-1))+2i
d)Q2016=2.(1+2+3+…+4031)+4032=4032^2=16 257 024
mais on nous demande L(2015;2016), on doit donc faire encore un déplacement vers la gauche donc L(2015;2016)=16 257 024 +1
=16 257 025
e)2016=2.(1+2+3+…+44)+36 comme 44 est pair, si on s’arrête à 2.(1+2+3+…+44), on aura un point qui se situe au coin en haut à gauche formé par la deuxième ligne de l’escargot de longueur 44 et la première de longueur 45. L’abscisse est donc de -44/2.
(Sur 2 car tout les points qui sont entre un côté d’abord impair et puis pair sont situés en bas à droite et tous ceux situés entre un côté d’abord pair et puis impair sont en haut à gauche donc en haut à gauche il n’y a que les pairs donc on met sur 2)
Notre point est donc tout en haut du premier côté de longueur 45 mais comme on doit encore ajouter 36 et qu’on est en haut à gauche, il faut descendre de 36. Or on sait (en observant le schéma) que lorsqu’un côté est de longueur X avec X impair, la longueur de ce côté dont l’ordonnnée est positive est égale à
X/2-1/2 et où l’ordonnée est négative égale à X/2+1/2.
Donc, on doit descendre de 36 et comme X=45, la longueur du segment dont l’ordonnée est positive est égale à 22.
L’ordonnée est donc égale à 22-36.
Les coordonnées du point S où L(S)=2016 sont donc
(-44/2 ; 22-36) = (-22 ; -14).
J’espère avoir été assez clair (surtout pour le e)) et ne pas avoir trop tourné autour du pot (surtout pour le e) également)
PS: cette question a été résolue (correctement je l’espère) par Julien Wellens (élève de 2ème année à l’Institut Saint-André à Ixelles).
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| Anonyme |
Posté le : 19/2/2023 11:41 Mis à jour : 19/2/2023 |
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Donc b) = (2i+1).2i+2i=4i^2+4i
et c) = (2i-1).2i+2i=4i^2
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| Anonyme |
Posté le : 19/2/2023 11:42 Mis à jour : 19/2/2023 |
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J’aurais donc pu faire plus simple pour le d) et le e) mais au final, ça revient au même.
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