Le plan, muni d'un repère orthonormé d'origine , est quadrillé par des droites parallèles aux axes de coordonnées et passant par tous les points à coordonnées entières. Sur ce quadrillage, on dessine, en partant de vers le bas, une ligne spiralée qui tourne dans le sens opposé à celui des aiguilles d'une montre, comme indiqué ci-contre.
Pour tout point à coordonnées entières, on note la longueur de la portion de qui va du point au point ; par exemple, .
a) Soit un point de l'axe des abscisses tel que . Quelles sont les valeurs possibles pour ?
b) Exprimer , , et en général , où avec naturel.
c) Exprimer , où avec naturel.
d) Calculer lorsque .
e) Déterminer les coordonnées du point tel que .
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Anonyme
Posté le : 22/10/2016 2:12 Mis à jour : 22/10/2016
Bonjour, a) il suffit de compter pour les positions 3 et -3 sur l'axe x --> 33 (pour M=+3) et 45 pour (M=-3). Plus généralement, c'est 4M²-M si M est positif et 4M²-3M si M est négatif. b) la taille de chaque segment est identique 2 fois de suite, puis augmente de 1. Le dernier segment mesure 2 fois i. Donc L = 2i + somme (sur n allant de 1 à 2i-1) de 2n. Cette expression peut être réduite en L=(2i)²+4i soit L= 4(i²+i) c) ici, 2 fois de suite la même longueur et 3 fois la dernière correspondant à 2i --> L=4i² d) pour L(M) en avec M=(2015,2016) correspond à 1+L(m) avec m=(2016,2016) soit "16 257 025" e) il faut la formule générale et je manque d'inspiration
