OMB - OMB 2016 Finale MIDI Question 2

OMB 2016 Finale MIDI Question 2

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a) Si $a=25$ , existe-t-il un nombre naturel $b$ tel que $a-b=\sqrt a+\sqrt b$ ?

b) Existe-t-il deux nombres naturels $a$ et $b$ tels que $a-b=\sqrt a+\sqrt b=13$ ?

c) Prouver que s'il existe des nombres naturels non tous deux nuls $a$ et $b$ tels que $a-b=\sqrt a+\sqrt b=m$ , alors $m$ est impair.

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 22/4/2016 15:58 Mis à jour : 22/4/2016
a) $b=16$ b) $a=49$ et $b=36$ c) Substitution : $a=x^2$ et $b=y^2$ On a alors $x^2-y^2=x+y$ $\Leftrightarrow(x+y)(x-y)=x+y$ $\Leftrightarrow x-y=1$ $x$ et $y$ sont consécutifs donc de parité différente $\Rightarrow x+y=2n+1$ $\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}=2n+1=m$ ( $n$ naturel bien sûr) cqfd JB

Nicolas Radu	Posté le : 22/4/2016 20:48 Mis à jour : 22/4/2016
Sauf que $a$ et $b$ ne sont pas forcément des carrés parfaits, donc $x$ et $y$ ne sont pas forcément entiers...

Anonyme	Posté le : 6/5/2016 14:26 Mis à jour : 6/5/2016
Si a et b n'étaient pas des carrés parfaits, sqrt(a) + sqrt(b) serait irrationnel, ce qui est contradictoire à l'énoncé.