OMB - OMB 2016 Finale MAXI Question 2

OMB 2016 Finale MAXI Question 2

Résoudre l’équation $2^{2m+1}+9\cdot2^m+5=n^2$ , d'inconnues entières (positives ou négatives) $m$ et $n$ .

Solution(s) proposée(s) :

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Corentin Bodart	Posté le : 20/4/2016 19:48 Mis à jour : 21/4/2016
Si $m\ge 3$ , on regarde à la division euclidienne par 8 : Selon que $n$ , $n^2\equiv 0,\,1,\,4\quad\pmod 8$ . Ainsi $2^{2m+1}+9\cdot 2^m+5\equiv 5\not\equiv 0,\,1,\,4\quad\pmod8$ On a donc pas de solution avec $m\ge 3$ . Si $m\le -2$ , on a $4< 2^{2m+1}+9\cdot 2^m+5<9$ Le membre de gauche n'est donc pas un carré parfait. En testant $m=-1,\,0,\,1,\,2$ , on trouve les solutions $(m,n)=(0,\pm 4)$ EDIT : Effectivement ...

Anonyme	Posté le : 21/4/2016 12:11 Mis à jour : 21/4/2016
Rectification : $n^2 \equiv 0,1,4\, \pmod 8$ Cédric