OMB - OMB 2016 Finale MAXI Question 3

OMB 2016 Finale MAXI Question 3

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Dans le plan, les triangles $ABD$ et $BCE$ sont extérieurs au triangle $ABC$ et isocèles rectangles en $D$ et en $C$ . Le point $H$ est l’intersection de $CD$ et $AE$ . Montrer que $BH$ et $AE$ sont perpendiculaires.

Solution(s) proposée(s) :

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Corentin Bodart	Posté le : 20/4/2016 21:34 Mis à jour : 20/4/2016
On regarde à la similitude directe de centre $B$ , de ratio $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$ . On remarque qu'elle envoie $P$ sur $P'$ tq $BPP'$ est isocèle rectangle en $P'$ . Elle envoie $A$ sur $D$ et $E$ sur $C$ . Dès lors, elle envoie $AE$ sur $CD$ et ainsi le point $H\in AE$ sur un point $G\in CE$ . Ainsi, puisque $G,H\in CE$ et que $GHB$ est isocèle rectangle en $G$ , $\widehat{DHB}=\widehat{GHB}=\frac{\pi}{4}=\widehat{DAB}$ On a donc $A$ , $B$ , $D$ et $H$ , cocycliques. Finalement, $\widehat{AHB}=\pi-\widehat{BDA}=\frac{\pi}{2}$ QED

Anonyme	Posté le : 15/5/2016 16:53 Mis à jour : 15/5/2016
en fait, si la similitude envoie AE sur DC, l'angle AHD vaut 45° donc ADBH sont cocycliques et l'angle AHB est droit. n'est-ce pas plus rapide ainsi ?