OMB - OMB 2017 Finale MINI Question 2

OMB 2017 Finale MINI Question 2

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Mathilde a devant elle une pile de $n$ jetons. Elle doit répéter un certain nombre de fois la manoeuvre suivante, comportant deux étapes :

Enlever un jeton à l'une des piles qu'elle a devant elle (et qui contient au moins deux jetons) ; ce jeton est définitivement jeté ;
Puis partager en deux, de façon quelconque, une pile contenant au moins deux jetons (celle à laquelle elle vient de retirer un jeton, ou une autre).

Si elle parvient à une disposition finale ne comportant que des piles de 5 jetons, elle gagne.

a) Y parviendra-t-elle si $n=17$ ?

b) Y parviendra-t-elle si $n=20$ ?

c) Donner une condition sur $n$ pour que Mathilde puisse gagner lorsque cette condition est satisfaite, et seulement dans ce cas.

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 26/4/2017 19:37 Mis à jour : 26/4/2017
a) Oui b) Non c) Il faut que le nombre soit un multiple de 6 diminué de 1 ( $6n-1$ )