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OMB 2017 Finale MIDI Question 1 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2017 Finale MIDI Question 1
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Cinq points distincts du plan ont des nombres entiers aussi bien pour abscisse que pour ordonnée. Montrer que, parmi ces cinq points, il en existe deux qui déterminent un segment dont le milieu a aussi une abscisse et une ordonnée entières.



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Anonyme
Posté le : 2/5/2017 16:34  Mis à jour : 2/5/2017
On suppose que A(x1,y1) et B(x2,y2) sont ces deux points, et I(x3,y3) le mileu du segment.
le point I doit avoir x3 = 1/2(x1+x2) et y3 = 1/2(y1+y2).
d autre part les cinq points ont des coordonnees entieres appartenant a l un des cas suivant:
* (pair,pair)
* (pair,impair)
* (impair,pair)
* (impair,impair)
et puisque on a cinq point alors on doit avoir au moins deux points qui appartient au meme cas, donc il existe deux points dont (x1+x2)%2 = 0 et (y1+y2)%2 = 0.
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