OMB - OMB 2017 Finale MIDI Question 3

OMB 2017 Finale MIDI Question 3

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On dit qu'un nombre entier est digisible lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :

Aucun de ses chiffres n'est nul ;
Il s'écrit avec des chiffres tous différents ;
Il est divisible par chacun d'eux.

Par exemple, 24 est digisible (car il est divisible par 2 et par 4); 324 est digisible (car il est divisible par 3, par 2 et par4); 32 n'est pas digisible (car il n'est pas divisible par 3).

a) Proposer un autre nombre digisible à deux chiffres.

b) Proposer un nombre digisible à quatre chiffres.

c) Soit $n$ un entier digisible s'écrivant avec un 5.
   i. Démontrer que 5 est le chiffre de ses unités.
   ii. Démontrer que tous les chiffres de $n$ sont impairs.
   iii. Démontrer que $n$ s'écrit avec au plus quatre chiffres.
   iv. Déterminer le plus grand entier digisible s'écrivant avec un 5.

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 26/4/2017 18:48 Mis à jour : 26/4/2017
"24 est digisible (car il est divisible par 3 et par 4)" ... C'est pas plutôt : "24 est digisible (car il est divisible par 2 et par 4)" ? -> C'est corrigé, merci.

Anonyme	Posté le : 26/4/2017 19:00 Mis à jour : 26/4/2017
SOLUTION : a. 12 (faut pas chercher loin :p) b. 248 (si 8 marche, 4 et 2 aussi). c.i. Il pourrait pas être divisible par 5 sinon !! ii. Vu que son chiffre des unités est 5, il est impair et donc non divisible par un nombre pair ... iii. Il a 5 chiffres impairs, mais s'ils sont tous présent, ça peut pas marcher parce que 1+3+5+7+9 = 25 n'est pas divisible par 9 ! iv. 9315 : on ne peut pas mettre de 7 sinon c'est pas divisible par 9 (9 doit bien sûr être en dernier pour avoir le plus gros nombre), on a forcément 5 à la fin, et on se rend compte que ça marche si 3 est le chiffre de la centaine. Voilà !

Anonyme	Posté le : 7/8/2017 12:35 Mis à jour : 7/8/2017
Correct, sauf la réponse b : on demande un nombre à quatre chiffres. Je propose 1236 mais je suppose qu'on aurait pu recopier la réponse c (9315) ou un quelconque de ses anagrammes se terminant par 5.

Anonyme	Posté le : 27/2/2018 21:34 Mis à jour : 27/2/2018
a) 36 b)

Anonyme	Posté le : 1/5/2022 12:25 Mis à jour : 1/5/2022
a) 12 b) 1236 c) i.oui sinon n ne pourrait pas être divisible par 5 ii. oui car un nombre finissant pas 5 n'est divisible que par des nombres pairs iii.oui car sinon il est pas divisible par 9 ( 1+3+5+7+9 = 25 iv.9315 SC