Avant toute chose, je voudrais dire que mon apport contient peut-être des erreurs.
Personnellement, j'ai résolu comme suit:
a) Cette question est assez évidente. Si chaque nain verse l'intégralité de son verre dans les autres et que le 7ème nain est le dernier à le faire, il me semble logique qu'il n'y a pas de lait dans son verre à la fin du processus. Comme chaque nain se retrouve à la fin avec la même quantité qu'au départ, le 7ème nain n'avait rien au départ ( et est logiquement celui qui en a le moins). De plus, il ne peut pas y avoir d'autres nains sans lait, car ils ont tous reçus au minimum 1/6 de ce que le 7ème nain a emmagasiné, c'est-à-dire au minimum 1/6 de chaque contenant de départ. Dire qu'un nain n'a rien reçu du 7ème revient donc à dire qu'il n'y avait pas de lait au départ, ce qui est contredit par l'hypothèse.
b)Là encore, pas besoin de grands calculs. On sait que chaque nain a à la fin autant que ce qu'il avait au départ. La question revient donc à se demander si les quantités contenues à la fin dans les verres décroissent. Prenons nain 1 et nain2. Nain1 distribue son verre. Il a donc un delta de contenant avec nain2 = 1/6 de ce qu'il avait au départ. Mais ensuite, nain2 distribue son verre. Nain1 se retrouve donc avec plus de lait que nain2. Par la suite, nain1 et nain2 recevant toujours la même quantité de lait, ce delta est préservé et l'on sait que nain1 a plus de lait que nain2. En gros, lorsqu’il distribue son verre, chaque nain donne un "avantage" au nains précédents qu'il ne récupérera pas par la suite. Il est donc logique que les quantités décroissent.
c)1) Une fois encore, on peut répondre à cette question sans se casser la tête. On a 6 inconnues, les contenus des verres des 6 premiers nains (le 7ème n'a rien, voir question a). Appelons-les : a,b,c,d,e et f. Prenons le premier nain. Qu'a-t'il reçu? ( accrochez -vous

et surtout, NE LISEZ PAS :
1/6*(b+1/6a)+
1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))
En réalité c'est assez simple, chaque "+" non contenu dans une parenthèse sépare l'ajout de deux verres différents, par exemple 1/6*(b+1/6a) est ce que donne nain2 à nain1 tandis que 1/6*(c+16*a+1/6*(b+1/6a)) est ce que donne nain3 à nain1. Et chaque donation est égale au sixième du contenu du verre en question additionné des donations précédentes. Pour savoir ce qu'à reçu nain2, il suffit de garder la même formule, en retirant le premier terme de la somme (ce qu'a donné nain2 à nain1), pour nain3, on retire les deux premiers termes, et ainsi de suite.
MAIS on sait par ailleurs que ce que chaque nain a reçu est égal à ce qu'il avait au départ. on a donc un système de 5 équations à 6 inconnues (il ne faut pas lire, c'est juste pour le principe):
a = 1/6*(b+1/6a)+
1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))
b = 1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))
c = 1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))
d = 1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))
e = 1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))
f = 1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))
Si vous avez remarqué, j'ai parlé d'un système de 5 équations. Pourquoi ? Car si l'on sait que 5 nains ont à la fin leur quantité de départ, on peut facilement en déduire que le 6ème aura également sa quantité de départ. L'équation décrivant l'égalité entre la quantité de départ et la quantité finale pour ce nain est donc superflue : on a bien 5 équations "utiles". Malgré tout, l'énoncé nous donne une égalité supplémentaire, qui est que la somme des quantités est égale à 21. On a donc 6 équations et 6 inconnues,donc une solution unique, et il ne reste plus qu'à résoudre
c)2) Alors, pour résoudre, on pourrait utiliser la force brute, c'est-à-dire la substitution, mais je laisse ce plaisir à tous ceux qui ont du temps à perdre. En effet, en soustrayant la première égalité à la deuxième, on obtient simplement:
a-b = 1/6*(b+1/6a), ce qui donne a = 6/5 b
en soustrayant la deuxième à la troisième, on obtient:
b-c = 1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a)), ce qui donne après remplacement de a par 6/5b: b = 5/4 c
Et ainsi de suite ...
On obtient alors:
a=6/5b
b=5/4c
c=4/3d
d=3/2e
e=2f
ou:
a=6f
b=5f
c=4f
d=3f
e=2f
On peut (si l'on veut répondre à la question

) utiliser la dernière égalité, c'est-à-dire:
a+b+c+d+e+f=21, ou après remplacement des variables, 21f=21, ce qui donne:
a=6
b=5
c=4
d=3
e=2
f=1
g(le contenu du verre du 7ème nain)=0
Il ne reste plus qu'à conclure avec une jolie phrase que je laisse à votre imagination débordante.