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OMB 2017 Finale MAXI Question 1
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Au départ, sept nains ont chacun un verre contenant une certaine quantité de lait. Cette quantité peut différer de verre à verre; certains verres peuvent ne pas contenir de lait, mais la quantité totale n'est pas nulle.

Le premier nain verse tout le contenu de son verre dans les autres verres, en le répartissant équitablement (et sans perte). Ensuite, le deuxième nain fait de même avec le nouveau contenu de son verre, puis le troisième aussi, etc., jusqu'au septième. Les nains constatent alors que chaque verre contient exactement la quantité qu'il avait au départ.

a) Au départ, quel nain a le verre qui contient le moins de lait et en quelle quantité ?

b) Est-il vrai que les quantités contenues au départ dans les verres décroissent du premier au dernier nain ?

c) Si la quantité totale de lait est de 21 dL, les quantités de départ dans les différents verres sont-elles déterminées ? Quelles sont toutes les possibilités ?



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 27/4/2017 19:23  Mis à jour : 27/4/2017
On va modéliser le problème comme suit : à toute configuration initiale, on associe le 7-uplet de réels qui décrit la quantité de lait (en dL) des nains. On remarque que est valide. On peut le voir en représentant les étapes successives sous la forme d'une matrice :




Dans un premier temps, on oublie que la somme des quantités de lait doit être non nulle.

Remarque préliminaire

Une matrice est valide si et seulement si :
1/ pour tous et
2/ la première et la dernière ligne sont identiques
3/ pour tout et pour tout :



(où est le nombre à la ligne et colonne dans la matrice)

On voit directement que donc .

Propriété 0 La seule matrice valide avec au moins deux sur la première ligne est la matrice nulle (i.e. avec des zéros partout).

En effet, si un nain (autre que le nain ) n'a pas de lait au début, il n'en a pas à la fin, donc il n'a pas reçu de lait du nain , donc le nain n'a pas reçu de lait du nain , ... On se rend compte qu'il n'y avait pas de lait du tout.

Propriété 1 Si est une matrice valide, aussi, pour tout réel .

C'est très simple de remarquer que les trois conditions sont encore respectées après multiplication par .

Propriété 2 Si et sont des matrices valides, alors aussi, à condition que tous les nombres de la matrice soient positifs ou nuls.

C'est aussi une simple vérification, laissée au lecteur.
Clairement, si la première ligne de ne contient que des nombres positifs ou nuls, la matrice toute entière ne contiendra que des nombres positifs ou nuls au vu de la relation de récurrence.


On peut maintenant montrer que les seules matrices valides sont celles de la forme avec .

Soit une matrice valide non nulle. Sa première ligne est . On considère le réel tel que :
I/ , , , , ,
II/ au moins une de ces inégalités est une égalité
(en gros, est suffisamment petit mais pas trop )

Alors la matrice est valide (propriété 1). La première ligne de la matrice ne contient que des nombres positifs ou nuls (par la condition I). La propriété 2 nous indique que est à son tour une matrice valide. Par la condition II, il y a au moins deux sur la première ligne de . Par la propriété 0, la matrice est la matrice nulle. Donc , ce que l'on voulait montrer.

Les trois questions posées découlent directement de ce fait.


C.P.
Anonyme
Posté le : 5/12/2018 20:47  Mis à jour : 5/12/2018
Quelqu'un n'aurait pas une solution sans matrice. En tout cas je ne comprends juste pas pourquoi on pose les conditions I et II, et pourquoi ces conditions entrainent que r.A-M possède 2 zeros sur la premiere ligne. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer?
Anonyme
Posté le : 3/10/2019 22:05  Mis à jour : 3/10/2019
Avant toute chose, je voudrais dire que mon apport contient peut-être des erreurs.
Personnellement, j'ai résolu comme suit:

a) Cette question est assez évidente. Si chaque nain verse l'intégralité de son verre dans les autres et que le 7ème nain est le dernier à le faire, il me semble logique qu'il n'y a pas de lait dans son verre à la fin du processus. Comme chaque nain se retrouve à la fin avec la même quantité qu'au départ, le 7ème nain n'avait rien au départ ( et est logiquement celui qui en a le moins). De plus, il ne peut pas y avoir d'autres nains sans lait, car ils ont tous reçus au minimum 1/6 de ce que le 7ème nain a emmagasiné, c'est-à-dire au minimum 1/6 de chaque contenant de départ. Dire qu'un nain n'a rien reçu du 7ème revient donc à dire qu'il n'y avait pas de lait au départ, ce qui est contredit par l'hypothèse.
b)Là encore, pas besoin de grands calculs. On sait que chaque nain a à la fin autant que ce qu'il avait au départ. La question revient donc à se demander si les quantités contenues à la fin dans les verres décroissent. Prenons nain 1 et nain2. Nain1 distribue son verre. Il a donc un delta de contenant avec nain2 = 1/6 de ce qu'il avait au départ. Mais ensuite, nain2 distribue son verre. Nain1 se retrouve donc avec plus de lait que nain2. Par la suite, nain1 et nain2 recevant toujours la même quantité de lait, ce delta est préservé et l'on sait que nain1 a plus de lait que nain2. En gros, lorsqu’il distribue son verre, chaque nain donne un "avantage" au nains précédents qu'il ne récupérera pas par la suite. Il est donc logique que les quantités décroissent.
c)1) Une fois encore, on peut répondre à cette question sans se casser la tête. On a 6 inconnues, les contenus des verres des 6 premiers nains (le 7ème n'a rien, voir question a). Appelons-les : a,b,c,d,e et f. Prenons le premier nain. Qu'a-t'il reçu? ( accrochez -vous et surtout, NE LISEZ PAS :
1/6*(b+1/6a)+
1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))
En réalité c'est assez simple, chaque "+" non contenu dans une parenthèse sépare l'ajout de deux verres différents, par exemple 1/6*(b+1/6a) est ce que donne nain2 à nain1 tandis que 1/6*(c+16*a+1/6*(b+1/6a)) est ce que donne nain3 à nain1. Et chaque donation est égale au sixième du contenu du verre en question additionné des donations précédentes. Pour savoir ce qu'à reçu nain2, il suffit de garder la même formule, en retirant le premier terme de la somme (ce qu'a donné nain2 à nain1), pour nain3, on retire les deux premiers termes, et ainsi de suite.
MAIS on sait par ailleurs que ce que chaque nain a reçu est égal à ce qu'il avait au départ. on a donc un système de 5 équations à 6 inconnues (il ne faut pas lire, c'est juste pour le principe):
a = 1/6*(b+1/6a)+
1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))

b = 1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))

c = 1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))

d = 1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))

e = 1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+
1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))

f = 1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+1/6*(1/6*a+1/6*(b+1/6a)+1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a))+d)+e)+f)+g(0))

Si vous avez remarqué, j'ai parlé d'un système de 5 équations. Pourquoi ? Car si l'on sait que 5 nains ont à la fin leur quantité de départ, on peut facilement en déduire que le 6ème aura également sa quantité de départ. L'équation décrivant l'égalité entre la quantité de départ et la quantité finale pour ce nain est donc superflue : on a bien 5 équations "utiles". Malgré tout, l'énoncé nous donne une égalité supplémentaire, qui est que la somme des quantités est égale à 21. On a donc 6 équations et 6 inconnues,donc une solution unique, et il ne reste plus qu'à résoudre

c)2) Alors, pour résoudre, on pourrait utiliser la force brute, c'est-à-dire la substitution, mais je laisse ce plaisir à tous ceux qui ont du temps à perdre. En effet, en soustrayant la première égalité à la deuxième, on obtient simplement:

a-b = 1/6*(b+1/6a), ce qui donne a = 6/5 b

en soustrayant la deuxième à la troisième, on obtient:

b-c = 1/6*(c+1/6*a+1/6*(b+1/6a)), ce qui donne après remplacement de a par 6/5b: b = 5/4 c

Et ainsi de suite ...

On obtient alors:
a=6/5b
b=5/4c
c=4/3d
d=3/2e
e=2f

ou:

a=6f
b=5f
c=4f
d=3f
e=2f

On peut (si l'on veut répondre à la question ) utiliser la dernière égalité, c'est-à-dire:

a+b+c+d+e+f=21, ou après remplacement des variables, 21f=21, ce qui donne:

a=6
b=5
c=4
d=3
e=2
f=1
g(le contenu du verre du 7ème nain)=0

Il ne reste plus qu'à conclure avec une jolie phrase que je laisse à votre imagination débordante.
Anonyme
Posté le : 3/10/2019 22:11  Mis à jour : 3/10/2019
J'aimerais juste ajouter que je m'appelle Merlin Michalski, car je déteste être anonyme (ce qui est compréhensible, je pense)
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