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OMB 2017 Finale MAXI Question 1 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2017 Finale MAXI Question 1
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Au départ, sept nains ont chacun un verre contenant une certaine quantité de lait. Cette quantité peut différer de verre à verre; certains verres peuvent ne pas contenir de lait, mais la quantité totale n'est pas nulle.

Le premier nain verse tout le contenu de son verre dans les autres verres, en le répartissant équitablement (et sans perte). Ensuite, le deuxième nain fait de même avec le nouveau contenu de son verre, puis le troisième aussi, etc., jusqu'au septième. Les nains constatent alors que chaque verre contient exactement la quantité qu'il avait au départ.

a) Au départ, quel nain a le verre qui contient le moins de lait et en quelle quantité ?

b) Est-il vrai que les quantités contenues au départ dans les verres décroissent du premier au dernier nain ?

c) Si la quantité totale de lait est de 21 dL, les quantités de départ dans les différents verres sont-elles déterminées ? Quelles sont toutes les possibilités ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 27/4/2017 19:23  Mis à jour : 27/4/2017
On va modéliser le problème comme suit : à toute configuration initiale, on associe le 7-uplet de réels qui décrit la quantité de lait (en dL) des nains. On remarque que est valide. On peut le voir en représentant les étapes successives sous la forme d'une matrice :




Dans un premier temps, on oublie que la somme des quantités de lait doit être non nulle.

Remarque préliminaire

Une matrice est valide si et seulement si :
1/ pour tous et
2/ la première et la dernière ligne sont identiques
3/ pour tout et pour tout :



(où est le nombre à la ligne et colonne dans la matrice)

On voit directement que donc .

Propriété 0 La seule matrice valide avec au moins deux sur la première ligne est la matrice nulle (i.e. avec des zéros partout).

En effet, si un nain (autre que le nain ) n'a pas de lait au début, il n'en a pas à la fin, donc il n'a pas reçu de lait du nain , donc le nain n'a pas reçu de lait du nain , ... On se rend compte qu'il n'y avait pas de lait du tout.

Propriété 1 Si est une matrice valide, aussi, pour tout réel .

C'est très simple de remarquer que les trois conditions sont encore respectées après multiplication par .

Propriété 2 Si et sont des matrices valides, alors aussi, à condition que tous les nombres de la matrice soient positifs ou nuls.

C'est aussi une simple vérification, laissée au lecteur.
Clairement, si la première ligne de ne contient que des nombres positifs ou nuls, la matrice toute entière ne contiendra que des nombres positifs ou nuls au vu de la relation de récurrence.


On peut maintenant montrer que les seules matrices valides sont celles de la forme avec .

Soit une matrice valide non nulle. Sa première ligne est . On considère le réel tel que :
I/ , , , , ,
II/ au moins une de ces inégalités est une égalité
(en gros, est suffisamment petit mais pas trop )

Alors la matrice est valide (propriété 1). La première ligne de la matrice ne contient que des nombres positifs ou nuls (par la condition I). La propriété 2 nous indique que est à son tour une matrice valide. Par la condition II, il y a au moins deux sur la première ligne de . Par la propriété 0, la matrice est la matrice nulle. Donc , ce que l'on voulait montrer.

Les trois questions posées découlent directement de ce fait.


C.P.
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