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OMB 2017 Finale MAXI Question 2 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2017 Finale MAXI Question 2
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Le quadrilatère est inscrit dans un demi-cercle dont est un diamètre ; ; et . Si , , sont des nombres naturels, montrer que ne peut pas être un nombre premier.




Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 26/4/2017 17:31  Mis à jour : 26/4/2017
Comme les triangles et sont rectangles, le théorème de Pythagore nous dit que et .
Par le théorème de Ptolémée, puisque est un quadrilatère inscriptible,



c'est-à-dire



En élevant au carré et en simplifiant
, on obtient



Par l'absurde, supposons que soit un nombre premier. On sait alors que divise , donc divise , divise ou divise . Les deux derniers cas sont impossibles puisqu'il est clair que et . Donc . Mais alors ce qui contredit le fait que .
Notre hypothèse était donc fausse, ainsi n'est pas un nombre premier.

C.P.
Anonyme
Posté le : 29/4/2017 0:39  Mis à jour : 29/4/2017
Solution sans le théorème de Ptolémée.

Soit le point d'intersection de et .

Comme est droit, est une hauteur du triangle . De plus, car ce sont deux angles inscrits interceptant un arc de même longueur. Donc est aussi une bissectrice du triangle . On en déduit que est isocèle en . En particulier, et .

Les triangles et sont semblables. En effet, et car isocèle.

Donc, . C'est-à-dire , ou encore .

On conclut comme précédemment.

C.P.
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