Comme les triangles et sont rectangles, le théorème de Pythagore nous dit que et .
Par le théorème de Ptolémée, puisque est un quadrilatère inscriptible,



c'est-à-dire



En élevant au carré et en simplifiant
, on obtient



Par l'absurde, supposons que soit un nombre premier. On sait alors que divise , donc divise , divise ou divise . Les deux derniers cas sont impossibles puisqu'il est clair que et . Donc . Mais alors ce qui contredit le fait que .
Notre hypothèse était donc fausse, ainsi n'est pas un nombre premier.

C.P.

Solution sans le théorème de Ptolémée.

Soit le point d'intersection de et .

Comme est droit, est une hauteur du triangle . De plus, car ce sont deux angles inscrits interceptant un arc de même longueur. Donc est aussi une bissectrice du triangle . On en déduit que est isocèle en . En particulier, et .

Les triangles et sont semblables. En effet, et car isocèle.

Donc, . C'est-à-dire , ou encore .

On conclut comme précédemment.

C.P.