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OMB 2017 Finale MAXI Question 3
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OMB 2017 Finale MAXI Question 3
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Considérons la suite définie, pour tout
, par :
a) Quelles sont les valeurs prises par les différents termes de la suite ?
b) Calculer
.
c) La suite contient-elle 3 termes consécutifs égaux ?
d) Exprimer la valeur de
en fonction de la décomposition de
en somme de puissances distinctes de 2.
e) La suite est-elle périodique ? (C'est-à-dire: existe-t-il un naturel
non nul tel que
pour tout naturel
?)
Solution(s) proposée(s) :
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Anonyme
Posté le :
27/4/2017 14:01
Mis à jour :
27/4/2017
On prouve par récurrence que
vaut
s'il y a un nombre pair de "1" dans l'écriture binaire de
, et
sinon. Par exemple,
.
Supposons que
. Si
,
, absurde. Si
,
, également absurde.
La suite n'est pas périodique. Supposons par l'absurde que
soit une période. Alors
Ce qui est absurde.
C.P.
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