OMB - OMB 2017 Finale MAXI Question 3

OMB 2017 Finale MAXI Question 3

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Considérons la suite définie, pour tout $n$ , par :

$\left\{\begin{array}{rcl}<br />t_0&=&1\\<br />t_{2n}&=&t_n\\<br />t_{2n+1}&=&1-t_n.<br />\end{array}\right.$

a) Quelles sont les valeurs prises par les différents termes de la suite ?

b) Calculer $t_{2017}$ .

c) La suite contient-elle 3 termes consécutifs égaux ?

d) Exprimer la valeur de $t_k$ en fonction de la décomposition de $k$ en somme de puissances distinctes de 2.

e) La suite est-elle périodique ? (C'est-à-dire: existe-t-il un naturel $p$ non nul tel que $t_{n+p}=t_n$ pour tout naturel $n$ ?)

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 27/4/2017 14:01 Mis à jour : 27/4/2017
On prouve par récurrence que $t_n$ vaut $1$ s'il y a un nombre pair de "1" dans l'écriture binaire de $n$ , et $0$ sinon. Par exemple, $t_{2017}=0$ . Supposons que $t_k=t_{k+1}=t_{k+2}$ . Si $k=2m$ , $t_m=t_{2m}=t_k=t_{k+1}=t_{2m+1}=1-t_m$ , absurde. Si $k=2m-1$ , $t_m=t_{2m}=t_{k+1}=t_{k+2}=t_{2m+1}=1-t_m$ , également absurde. La suite n'est pas périodique. Supposons par l'absurde que $p>0$ soit une période. Alors $t_{2p-1}=t_{2(p-1)+1}=1-t_{p-1}=1-t_{p-1+p}=1-t_{2p-1}$ Ce qui est absurde. C.P.