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OMB 2017 Finale MAXI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2017 Finale MAXI Question 3
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Considérons la suite définie, pour tout , par :





a) Quelles sont les valeurs prises par les différents termes de la suite ?

b) Calculer .

c) La suite contient-elle 3 termes consécutifs égaux ?

d) Exprimer la valeur de en fonction de la décomposition de en somme de puissances distinctes de 2.

e) La suite est-elle périodique ? (C'est-à-dire: existe-t-il un naturel non nul tel que pour tout naturel ?)



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 27/4/2017 14:01  Mis à jour : 27/4/2017
On prouve par récurrence que vaut s'il y a un nombre pair de "1" dans l'écriture binaire de , et sinon. Par exemple, .

Supposons que . Si , , absurde. Si ,
, également absurde.

La suite n'est pas périodique. Supposons par l'absurde que soit une période. Alors


Ce qui est absurde.

C.P.
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