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OMB 2017 Finale MAXI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2017 Finale MAXI Question 4
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Dans un quadrilatère convexe , les angles en et en sont supérieurs à . Montrer que .



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 27/4/2017 13:40  Mis à jour : 27/4/2017
Voici une preuve peu géométrique.

Posons , et . Par Al-Kashi :



et



car et sont supérieurs ou égaux à °.

Il suffit donc de prouver que




Remarquons que car . Donc



De manière similaire,



En additionnant les deux inégalités, on trouve exactement ce qu'il fallait montrer.

C.P.
Anonyme
Posté le : 25/3/2018 13:06  Mis à jour : 25/3/2018
Belle reponse. J'aimerais profiter pour soumettre ce problème à votre sagacité mathematique dans les inégalités.

EXO : pour tout x, y,z positif, quelle est la valeur maximale de. xyz/[(x+1)(x+y) (y+z) (z+16)] .

Ma réponse est 1/81 pour x =2 , y=4, z =8. Pour déterminer, etant donner que x +1et z+16 casse la symétrie de l’ expression en dénominateur, j’ai aligné x +y et y +z sur x +1 (apres avoir gambergé 3 jours) en posant
y =x^2 et z = x^3 ce qui donne x+y = x (x+1) , y+z= x^2 (x+1) et z+16 = x^3 + 16 ce qui donne une expression sur x qui simplifiée donne
x^3/ [(x+1)^3 . (x^3 + 16)].
En derivant j’ obtient au numérateur 16 – x^4 et ainsi x =2 est un extremum et de là j’obtiens y=4 et z=8.
En alignant l' expression sur z + 16 on trouve z =8 et ainsi y =4 et x=2

Je vous rapelle que je n’ai pas fait les math supérieures pour aller avec les dérivées partielles. Aidez moi pour avoir une reponse correcte et plus rigoureuse.
Merci d’ avance.
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