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OMB 2018 Finale MINI Question 2 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2018 Finale MINI Question 2
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Soit un triangle équilatéral de côté 8 et un point quelconque de . Le cercle de centre passant par coupe en et le cercle de centre passant par coupe en .



a) Si est le milieu de , déterminer la longueur totale de la ligne fermée formée de deux segments et de deux arcs de cercle.

b) Montrer que la longueur totale de ne dépend pas de la position du point sur .



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 18/4/2018 22:55  Mis à jour : 18/4/2018
8pi/3+8 8 fois où divisé par 3 plus 8
Anonyme
Posté le : 25/4/2018 21:25  Mis à jour : 25/4/2018
a) et b)


Posons x = |BM| = |BN|. Il s'ensuit que |AN| = |CM| = |CP| = 8-x puis que |AP| = x.

Dès lors, la longueur recherchée vaut |AN| + longueur arc(MN) + longueur arc(MP) + |AP|.

Or, la longueur de l'arc d'un cercle de rayon R et d'angle au centre alpha en radian (rad) est donnée par R*alpha. On retient que pi rad vaut toujours 180°. Ici, on prend alpha = 60° = pi/3 rad (règle de trois).

Ainsi, la longueur vaut (8-x) + x*pi/3 + (8-x)*pi/3 + x = (8-x+x) + pi/3 *(x+8-x) = 8 + 8*pi/3.

Elle est donc bien indépendante de la position de M puisqu'elle ne dépend pas de x.

(résolu par Julien Robe)
Anonyme
Posté le : 28/4/2018 11:04  Mis à jour : 28/4/2018
Pardon

QUE-EST-CE QUE VEUT DIRE PI RADIAN ET ALPHA?

Merci beaucoup d'avance
Anonyme
Posté le : 28/4/2018 11:06  Mis à jour : 28/4/2018
Normalement

Ce n'est pas la matière de 2ème année
Anonyme
Posté le : 28/4/2018 22:02  Mis à jour : 28/4/2018
Le radian (noté rad) est une unité de mesure d'angle, la deuxième qu'on apprend en secondaire après le degré. Un angle de un radian est un angle au centre d'un cercle qui intercepte un arc de longueur égal au rayon du cercle.

C'est de cette définition que vient le périmètre d'un cercle qui vaut 2*pi*r où r est le rayon du cercle.

Un angle au centre de 2pi rad intercepte tout le cercle et nous savons que cet angle en degré doit valoir 360°. Nous avons donc 2pi rad = 360°, ce qui implique pi rad = 180°
Anonyme
Posté le : 28/4/2018 22:06  Mis à jour : 28/4/2018
Ainsi, par la règle de trois, si 2pi rad intercepte tout le cercle de longueur 2pi*r, alors 1 rad intercepte un arc du cercle de longueur 2pi*r/(2pi) = r (en accord avec la définition donnée plus haut). Pour un angle quelconque alpha exprimé en radian, cet angle va alors correspondre à un arc de cercle de longueur alpha*r.
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