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OMB 2018 Finale MIDI Question 1 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2018 Finale MIDI Question 1
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Les nombres impairs sont écrits par lignes successives en suivant le modèle ci-contre.



a) Combien de nombres compte la e ligne ?

b) Combien de nombres comptent en tout les premières lignes ?

c) Quel est le premier nombre de la e ligne ?

d) Quel est le dernier nombre de la e ligne ?

e) Quelle est la somme des nombres de la e ligne ?



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 18/4/2018 21:36  Mis à jour : 18/4/2018
a.) 2n-1
b.) (n-1)^2
c.) 2(n-1)^2 + 1
d.) 2n^2 - 2n + 3
e.) 4n^3 - 8n^2 + 9n - 3
Anonyme
Posté le : 19/4/2018 14:02  Mis à jour : 19/4/2018
Pour la d) j'ai trouvé 2n^2 - 1
et la e) 4n^2 - 1
Anonyme
Posté le : 19/4/2018 18:22  Mis à jour : 19/4/2018
a) Nommons n le numéro de la ligne et x le nombre de nombres présents dans cette ligne.
La première ligne contient 1 nombre. A chaque fois qu’on passe une ligne (on passe à la ligne suivante) on rajoute deux nombres.
Ce qui nous conduit à la formule suivante :
2n=x+1 <=> x=2n-1
Il y aura donc 2n-1 nombres à la nième ligne.


b) S’il y a 2n-1 nombres à la nième ligne, les n-1 premières lignes compteront en tout (2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1)+(2*4-1)+...+2*(n-1)-1 nombres.
Anonyme
Posté le : 19/4/2018 20:04  Mis à jour : 19/4/2018
Par contre pour le reste c’est trop dur je n’ai pas trouvé (de toute façon je n’etais pas à la finale) je suis en troisième année.
Anonyme
Posté le : 19/4/2018 20:45  Mis à jour : 19/4/2018
Ah bah non je me suis planté hier soir, en fait pour la b c'était (n-1)^4 ((n-1)^2 c'était le nombre total de terme...), du coup la c 2(n-1)^2 + 1, la d 2(n-1)^2 + 1 + 4(n-1) soit 2(n-1)(n+1)+1, et la e par conséquent (2(n-1)^2+1 + 2(n-1)(n+1)+1) *(2n-1)/2, soit (2(n^2-n)+1)(2n-1) Je suis en troisième, je ne suis pas passé en finale non plus... J'espère pour l'année prochaine...
Anonyme
Posté le : 25/4/2018 22:43  Mis à jour : 25/4/2018
Notons respectivement par an, bn, cn, dn et en les réponses aux questions a, b, c, d et e avec n le numéro de ligne.


a) Les nombres an constituent une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme a1 = 1. Ainsi, an = a1 + (n-1)*2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1

b) bn est la somme des (n - 1) premiers termes de la suite des nombres an. Dès lors, bn = (n-1)*[a1 + a(n-1)]/2 = (n-1) * (1 + 2*(n-1)-1)/2 = (n-1)*(2n-2)/2 = (n-1)*(n-1) = (n-1)²

c) cn est le nombre naturel impair numéro [(n-1)² + 1] d'après la question b. D'où, cn = 2*[(n-1)² + 1] - 1 = 2*(n-1)² + 1 = 2 * (n² - 2n + 1) + 1 = 2n² - 4n + 3

d) dn est le nombre naturel impair numéro n² d'après la question b. Ainsi, dn = 2n² - 1

e) en est la somme des (2n - 1) nombres d'une suite arithmétique de raison 2, de premier terme cn et de dernier terme dn d'après les questions a, c et d. Il s'ensuit que en = (2n - 1)*(cn + dn)/2.

Après calculs et simplifications, on arrive à en = (2n - 1)*(2n² - 2n + 1)

(résolu par Julien Robe)
Anonyme
Posté le : 9/6/2018 20:27  Mis à jour : 9/6/2018
Bah moi j'ai trouvé pour:

a) 2n - 1

b) ( n - 1 )^2

c) 2( n - 1 )^2 + 1

d) 2n^2 - 1

e) n^4 - ( n - 1 )^4
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