a) Tout d’abord, quel que soit la valeur du produit de a par b, tout nombre multiplié par un nombre pair sera pair. Donc si 4ab est pair, alors 4ab+1 est forcément impair.

Maintenant, il s’agit de savoir s’il existe une infinité de nombres impairs étant des carrés parfaits. Et c’est le cas. Selon la formule, il existe donc une infinité de nombres impairs carrés parfaits possédant cette propriété : si l’on retire 1 à ce nombre, il devient multiple de 4.
Il reste encore à savoir s’il existe une infinité de couples (a, b) dont le produit vaut un multiple de 4. Étant donné qu’il existe une infinité de multiples de 4, il existe aussi une infinité de couples brillants CQFD.

Alors juste pour l’info je suis élève de troisième année et je n’ai pas été qualifié pour la finale. Du coup je ne sais pas trop si ma démonstration est entièrement complète et correcte.

b) Oui, il existera toujours un couple (p, b) brillant, notamment si p=2 et b=1. 4pb+1=4*2*1+1=9 et 9 est le carré de 3.

Il en existe deux :
(2, 3) et (3, 2)
Car si 4pq+1 est impair, alors 4pq est pair, et il est multiple de 4 (sinon p et/ou q est/sont décimal/décimaux).
La liste des carrés parfaits impairs diminués de 1 est :{0;8;24;48;80;120;160...} et on remarque qu’ils sont tous multiples de 8. Donc si on les divise par 4, cela donnera un nombre pair. Donc pq est pair.
Or si pq est pair, cela veut dire qu’un de ces deux nombres est aussi pair. Et pour respecter la condition énoncée, le seul nombre premier pair est 2, cela nous donne déjà un des deux nombres du couple. On peut maintenant exprimer la formule énoncée de cette manière : 8q+1 est carré parfait.
En regardant la liste des cares parfaits impairs diminués de 1, on constate que tous valent le produit de 8 par un nombre pair, sauf les nombres 8; et 24.
Ce premier cas ne peut pas être considéré car il ne respecte pas la condition énoncée (8 = 8*1 et 1 n’est pas un nombre premier). Donc il ne reste que le nombre 3 pour valeur de q (24 =8*3).
Ce qui nous amène après ce long raisonnement aux deux couples possibles : (2; 3) et (3; 2).

Encore une fois je ne suis pas certain que ce raisonnement soit complet et correct, notamment quand je liste des nombres pour faire une constatation (je n’arrive pas à démontrer cette constatation ni à établir de formule).
J’attends juste la correction officielle.

Soit P(n) l’affirmation:
∃a, b, n ∈ N tel que n^2= 4ab+1.
On voit que 4ab+1 est toujours impaire puisque 4ab est pair. Donc, on en déduit que P(n) ne peut que être vraie si n est impair. Par constatation, on peut ainsi faire l’hypothèse que P(n) est vraie pour tout n impair positif. Et comme il faut prouver P(n) pour une infinité de nombre, une preuve par induction semble adéquate.

Le couple (0, 1) est brillant puisque 4*0*1+1=1=1^2. Donc, P(1) est vraie.

Soit k un nombre tel que k ∈ N et supposons que P(k) soit vraie, alors :
∃a, b, k ∈ N tel que k^2= 4ab+1, par hypothèse de récurrence
⇒ ∃a, b, k ∈ N tel que k^2= 4(ab-k-1)+1, puisque (ab-k-1) ∈ N et avec la restriction que ab-k-1≥ 0 (En d’autres mots, Il existe un autre couple (a’, b’) où a’, b’ ∈ N tel que a’*b’=4(ab-k-1)+1)
⇒ ∃a, b, k ∈ N tel que k^2= 4ab-4k-4+1
⇒ ∃a, b, k ∈ N tel que k^2+4k+4= 4ab+1
⇒ ∃a, b, k ∈ N tel que (k+2)^2= 4ab+1
⇒ P(n+2)
Alors ∀k ∈ N, P(k) ⇒ P(k+2).
Ainsi, P(n) est vrai ∀n impair positif, et il existe donc une infinité de n tel que P(n) soit vraie.
Donc, il existe une infinité de couples brillants puisque, pour chaque n différent, est associé un couple brillant (a, b) différent.
CQFD

Un couple (a,b) est brillant s'il est solution de l'équation 4ab+1=n² où n est un nombre naturel.

Il s'ensuit que n doit être impair et donc on a n=2k+1 avec k naturel.

D'où, 4ab+1=4k²+4k+1 et donc, ab=k²+k = k(k+1).

Par conséquent, (a,b) est brillant si a et b sont deux nombres naturels consécutifs dans cet ordre ou non.

a) Oui

b) Oui car il suffit de prendre b=p-1 ou b=p+1 (p et b doivent être consécutifs dans cet ordre ou non)

c) p et q sont premiers et doivent être consécutifs, ce qui implique deux nombres premiers de parités différentes et on a donc (p,q)=(2,3) ou (p,q)=(3,2) puisque le seul nombre premier pair est 2

(résolu par Julien Robe)

Nous savons que:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
Donc a³ + 2ab + b² + 2ab - 2ab = (a + b)³
Donc 4ab + a³ - 2ab + b² = (a + b)²
Donc 4ab + (a - b)² = (a + b)²
Il suffit donc de choisir:
a et b tel que a - b = 1 et alors n = a + b

On remarque que pour tout a naturel, (a,a+1) est brillant car 4a(a+1) + 1 = 4a² + 4a + 1 = (2a+1)².
Puisque a est naturel, 2a+1 l'est également et donc 4a(a+1) est bien un carré parfait.

a) Oui par le raisonnement plus haut.
b) Idem, il suffit de prendre b = p+1.
c) On cherche des nombres premiers p et q tels que 4pq+1 est un carré parfait c'est-à-dire qu'il existe un naturel k tel que k² = 4pq + 1. Notons que ce k est forcément non nul.
Notons k' = k -1. On a que k' est naturel et que (k' + 1)² = 4pq + 1 c'est-à-dire k'² + 2k' + 1 = 4pq + 1 d'où k'(k'+1) = pq.

Puisque k' divise pq et puisque p et q sont premiers, on ne peut avoir que 4 cas (qui correspondent aux 4 diviseurs positifs de pq) :

Si k' = 1, alors k'+1 = 2 et pq = 2 ce qui est impossible car p et q sont premiers et donc plus grands ou égaux à 2.
Si k' = p, alors k'+1 = q et la seule solution possible est (2,3).
Si k'= q, alors k'+1 = p et la seule solution possible est (3,2)
Si k' = pq, alors k'+1 = pq +1 et pq = pq(pq+1) ce qui est bien entendu impossible.

On en déduit qu'il n'existe que deux couples brillants (p,q) avec p et q tous les deux premiers.

D. Bertrand

CORRECTION

On remarque que pour tout a naturel, (a,a+1) est brillant car 4a(a+1) + 1 = 4a² + 4a + 1 = (2a+1)².
Puisque a est naturel, 2a+1 l'est également et donc 4a(a+1) est bien un carré parfait.

a) Oui par le raisonnement plus haut.
b) Idem, il suffit de prendre b = p+1.
c) On cherche des nombres premiers p et q tels que 4pq+1 est un carré parfait c'est-à-dire qu'il existe un naturel k tel que k² = 4pq + 1. Notons que ce k est forcément non nul.
Notons k' = k -1. On a que k' est naturel et que (k' + 1)² = 4pq + 1 c'est-à-dire k'² + 2k' + 1 = 4pq + 1 d'où k'(k'+2) = 4pq. Vu que k' et k'+2 ont la même parité, on en déduit qu'ils doivent être pairs tous les deux. Notons k'' = k/2. On a k''(k''+1) = pq.

Puisque k'' divise pq et puisque p et q sont premiers, on ne peut avoir que 4 cas (qui correspondent aux 4 diviseurs positifs de pq) :

Si k'' = 1, alors k''+1 = 2 et pq = 2 ce qui est impossible car p et q sont premiers et donc plus grands ou égaux à 2.
Si k'' = p, alors k''+1 = q et la seule solution possible est (2,3).
Si k''= q, alors k''+1 = p et la seule solution possible est (3,2)
Si k'' = pq, alors k''+1 = pq +1 et pq = pq(pq+1) ce qui est bien entendu impossible.

On en déduit qu'il n'existe que deux couples brillants (p,q) avec p et q tous les deux premiers.

D. Bertrand