C'est grave si j'ai répondu à la c) et d) dans la question a) ?

a) Non. A chaque étape on découpe les pièces le long de l’hypoténuse du grand triangle en 4 plus petites pièces.
Chaque découpage d’une pièce donne deux nouvelles petites pièces le long de l’hypoténuse du grand triangle et deux autres petites pièces ne partageant pas de segment commun avec l’hypoténuse du grand triangle.
On peut donc dire qu’à chaque découpage, on découpe identiquement un nombre pair de pièces, et chaque piece découpée donne aussi un nombre pair de pièces contenues dans celle-ci.
Cela nous donnera forcément un nombre pair de pièces apres chaque découpage.
735 étant un nombre impair, il est impossible qu’une étape compte un tel nombre de pièces.

b) Oui. À chaque étape, on découpe les pièces ayant un segment commun avec l’hypotenuse du grand triangle en 4 pièces, dont 2 gardant un segment commun avec l’hypoténuse du grand triangle et 2 n’ayant plus de segment commun avec celle-ci.
Cela induit qu’à chaque étape, on ne touchera plus à la moitié des pièces obtenues lors du découpage, ces pièces peuvent donc déjà être comptées. Et que l’autre moitié peut encore être découpée si l’on veut avancer d’une étape supplémentaire.

On peut établir la formule pour compter le nombre de pièces qu’il y aura après chaque découpage:
2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^n+2^n
Où le nombre de termes correspond au nombre de découpages que l’on fait (qui correspond ou nombre d’étapes augmenté de 1 car on ne découpe rien à l’an premier étape) et où n est là dernière étape.
Après le dernier découpage, il faut compter une deuxième fois 2^n pour obtenir le nombre de pièces, car comme expliqué précédemment, il reste une moitié des pièces résultant du dernier découpage qui peuvent encore être découpées. Mais si l’on s’arrête à la nième étape, il faut compter une deuxième fois 2^n pour obtenir le nombre de pièces.

Pour revenir à la question, il y a une étape où le grand triangle est composé de 1534 pièces, plus précisément la :
2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^9=2+4+8+16+32+64+128+256+512+512=1024+256+128+64+62=1280+128+126=1280+254=1534 CQFD

La neuvième étape est celle où le grand triangle est découpé en 1534 pièces (j’ai oublié de le dire dans mon dernier commentaire)

c) Selon le raisonnement écrit à la réponse b), il y a p pièces à l’étape n revient à dire qu’il y a 2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^n+2^(n+1)+2^(n+1) pièces à l’étape n.
Il y aura donc 2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^n+2^(n+1)+2^(n+2)+2^(n+2) pièces à l’etape n+1.
Ce qui revient à dire qu’il y aura p-2^(n+1)+4^n+2 à l’etape n+1.

d) A l’etape n il y aura
2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^n+4^(n+1) pièces, selon le raisonnement décrit dans les précédentes questions.

Alors les 5 précédents commentaires (donc pas le tout premier) on été écrits par moi (donc la même personne). Je suis élève de troisième année et je n’ai pas participé a la finale (à cause de bêtes fautes) donc je ne sais pas si mon raisonnement est entièrement correct et complet. J’attends juste la solution officielle.

Pour la question d, j'arrive à la formule suivante pour le nombre de pièces à l'étape n:
1 + 3.(2 exp(n-1) - 1).
Donc, il n'y a pas de triangle avec 735 pièces.
Et il y a bien un triangle avec 1534 pièces, correspondant à l'étape 10.
Et enfin, en passant de l'étape n à l'étape n + 1, le nombre de pièces augmente de 3.2exp(n-1)

Résultats utiles :

Σ q^k pour k allant de 0 à n = q^0 + q^1 + ... + q^n = [1-q^(n+1)] / [1-q]

Σ q^k pour k allant de 1 à n = q^1 + ... + q^n
Σ q^k pour k allant de 1 à n = q(1 + ... + q^(n-1) )
Σ q^k pour k allant de 1 à n = q[1-q^(n)] / [1-q]

Notons par p(n) ou plus simplement pn le nombre de pièces à l'étape n.

Au CE1D, il y a des problèmes analogues à celui-ci.

L'idée est de compter le nombre de pièces aux quatres premières étapes et d'essayer par récurrence de tirer une formule qui exprime pn en fonction de n.

Pour n=1,2,3,4, nous avons respectivement p1 = 1, p2 = 4, p3 = 10 et p4 = 22. En analysant ces quatres nombres de pièces, on constate qu'on ajoute d'une étape n à la suivante (n+1) un multiple de trois. Ces multiples de trois (3, 6, 12,...) constituent une suite géométrique de raison q = 2.

Il s'ensuit par récurrence que pn = 1 + 3*(2^(n-1) - 1)/(2 - 1) = 1 + 3*(2^(n-1) - 1) = 3*2^(n-1) - 2 (par distributivité).

Ainsi, nous pouvons répondre aux questions une par une :

a) On doit résoudre 3*2^(n-1) - 2 = 735, ce qui donne 3*2^(n-1) = 737. Or, 737 n'est ni multiple de 2 (chiffre des unités impair) ni multiple de 3 (la somme de ses chiffres n'est pas multiple de trois). Donc, il est impossible d'avoir un tel nombre de pièces à la moindre étape.

b) On doit résoudre 3*2^(n-1) - 2 = 1534, ce qui nous donne 2^(n-1) = 512 = 2^9. Ainsi, n-1 = 9 et donc, n=10. D'où, on a 1534 pièces à la 10ème étape.

c) On a pn = 3*2^(n-1) - 2 = p. Il en résulte que p(n+1) = 3*2^n - 2 = 2*3*2^(n-1) - 4 + 2 = 2 (3*2^(n-1) - 2) + 2 = 2p + 2

d) Il s'agit de la formule pn = 3*2^(n-1) - 2

(résolu par Julien Robe)