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OMB 2018 Finale MAXI Question 2 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2018 Finale MAXI Question 2
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Soit et deux nombres réels tels que .

Que vaut ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 18/4/2018 20:51  Mis à jour : 18/4/2018
Avec le changement de variable , , la condition devient :


Anonyme
Posté le : 18/4/2018 20:57  Mis à jour : 18/4/2018
Avec le changement de variable , , la condition devient :



D'où .

Par conséquent, .

C.P.
Anonyme
Posté le : 24/4/2018 17:26  Mis à jour : 24/4/2018
Notons V(x) la racine carrée du nombre x. L'équation x+V(1+x²)=0 où x est un nombre réel n'admet aucune solution : V(1+x²)=-x impliquerait pour x<=0 1+x²=x² et donc 1=0 !!!

Ceci entraîne que a+V(1+a²)=1/[b+V(1+b²)]=V(1+b²)-b en rationnalisant le dénominateur.

D'où, a+b=V(1+b²)-V(1+a²) et par élévation au carré, on a : a²+2ab+b²=1+b²-2V(1+b²)V(1+a²)+1+a².

Ceci se simplifie en ab=1-V(1+b²)V(1+a²)(*)

Or, par distributivité double sur la relation de l'énoncé, on a aussi ab+aV(1+b²)+bV(1+a²)+V(1+a²)V(1+b²)=1, c'est-à-dire aV(1+b²)+bV(1+a²)=0 d'après la relation (*).

Il s'ensuit aV(1+b²)=-bV(1+a²), équation qui n'a de sens que pour a et -b de même signe si a et b sont non nuls et qui admet la solution a=b=0, puis par élévation au carré que a²(1+b²)=b²(1+a²) et donc, a²=b², ce qui implique a=b ou a=-b.

Ainsi, a=-b et donc a+b=0 puis (a+b)^2018=0

(résolu par Julien Robe)
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