OMB - OMB 2018 Finale MAXI Question 2

OMB 2018 Finale MAXI Question 2

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Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $\left( a+ \sqrt{1+a^2} \right)\left( b+ \sqrt{1+b^2} \right)=1$ .

Que vaut $(a+b)^{2018}$ ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 18/4/2018 20:51 Mis à jour : 18/4/2018
Avec le changement de variable $x=\sinh(a)$ , $y=\sinh(b)$ , la condition devient : $<br />\begin{align}<br />1&=(\sinh(x)+\sqrt{1+\sinh(x)^2})(\sinh(y)+\sqrt{1+\sinh(y)^2})\\<br />&=(\sinh(x)+\cosh(x))(\sinh(y)+\cosh(y))\\<br />&=e^x\cdot e^y\\<br />&=e^{x+y}<br />\end{align}$

Anonyme	Posté le : 18/4/2018 20:57 Mis à jour : 18/4/2018
Avec le changement de variable $a=\sinh(x)$ , $b=\sinh(y)$ , la condition devient : $<br />\begin{align}<br />1&=(\sinh(x)+\sqrt{1+\sinh(x)^2})(\sinh(y)+\sqrt{1+\sinh(y)^2})\\<br />&=(\sinh(x)+\cosh(x))(\sinh(y)+\cosh(y))\\<br />&=e^x e^y\\<br />&=e^{x+y}<br />\end{align}$ D'où $x+y=0$ . Par conséquent, $a+b=\sinh(x)+\sinh(y)=2\sinh\left(\frac{x+y}{2}\right)\cosh\left(\frac{x-y}{2}\right)=0$ . C.P.

Anonyme	Posté le : 24/4/2018 17:26 Mis à jour : 24/4/2018
Notons V(x) la racine carrée du nombre x. L'équation x+V(1+x²)=0 où x est un nombre réel n'admet aucune solution : V(1+x²)=-x impliquerait pour x<=0 1+x²=x² et donc 1=0 !!! Ceci entraîne que a+V(1+a²)=1/[b+V(1+b²)]=V(1+b²)-b en rationnalisant le dénominateur. D'où, a+b=V(1+b²)-V(1+a²) et par élévation au carré, on a : a²+2ab+b²=1+b²-2V(1+b²)V(1+a²)+1+a². Ceci se simplifie en ab=1-V(1+b²)V(1+a²)() Or, par distributivité double sur la relation de l'énoncé, on a aussi ab+aV(1+b²)+bV(1+a²)+V(1+a²)V(1+b²)=1, c'est-à-dire aV(1+b²)+bV(1+a²)=0 d'après la relation (). Il s'ensuit aV(1+b²)=-bV(1+a²), équation qui n'a de sens que pour a et -b de même signe si a et b sont non nuls et qui admet la solution a=b=0, puis par élévation au carré que a²(1+b²)=b²(1+a²) et donc, a²=b², ce qui implique a=b ou a=-b. Ainsi, a=-b et donc a+b=0 puis (a+b)^2018=0 (résolu par Julien Robe)