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OMB 2008 Finale MINI Question 1 - Solution de Matsvei Tsishyn et Jen-Yen Chang Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2008 Finale MINI Question 1 - Solution de Matsvei Tsishyn et Jen-Yen Chang
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Question :

Un enfant possède 2008 allumettes toutes de longueur 1. Il s'amuse à construire des gnomons


ou des carrés


(a) Avec ses 2008 allumettes, il construit le plus grand gnomon possible. Combien
lui faut-il d'allumettes et combien ce gnomon comporte-t-il de petits carrés ?

(b) Avec ses 2008 allumettes, il construit le plus grand carré possible. Combien
lui faut-il d'allumettes et combien ce carré comporte-t-il de petits carrés ?

(c) Avec ses 2008 allumettes, il souhaite construire d'abord un carré, puis le démonter et ensuite construire un gnomon comportant exactement le même nombre d'allumettes que le carré. Est-ce possible ? Si oui, quel est, parmi ces 2008 allumettes, le plus grand nombre d'allumettes utilisables pour chacune de ces deux constructions successives ?



Solution de Matsvei Tsishyn et Jen-Yen Chang :


(a) Pour un gnomon de 3 carrés , l'enfant utilisera 10 allumettes. Ensuite, pour chaque petit carré ajouté, il utilisera 3 allumettes puisque l'un des côtés d'un petit carré est déjà mis. En sachant qu'un gnomon doit avoir une nombre impair de de petits carrés, à chaque étape, il devra rajouter deux carrés et donc 6 allumettes. Donc le nombre d'allumettes utilisées sera de la forme avec un naturel. Le plus grand nombre de cette forme tout en restant inférieur ou égal à 2008 est 2008 puisque . Donc il pourra utiliser toutes les allumettes pour faire un gnomon de petits carrés. En effet on part de 3 carrés, et à chacune des 333 étapes, on a ajouté 2 carrés (en haut et à droite).

(b) On voit que dans le carré de côté 2, il y a 3 rangs horizontalement et 3 rangs verticalement. Pour un carré de côté , on obtient de même rangées. Comme il y a allumettes dans chaque rangée, le nombre total d'allumettes est donc . Donc on veut . Si on prend , alors , mais si on prend , alors . Donc le nombre d'allumettes utilisées est 1984 avec un carré de côté 31, constitué de petits carrés.

(c) Par la partie (b), le plus grand nombre d'allumettes avec lesquelles on peut construire un carré est 1984. Si ce nombre est de la forme , alors par la partie (a), nous savons qu'on peut créer un gnomon avec ce nombre d'allumettes. Comme , on peut construire à la fois un carré et un gnomon avec 1984 allumettes. C'est donc possible et 1984 est le plus grand nombre (plus petit ou égal à 2008) d'allumettes avec lesquelles on peut faire cela.



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