OMB - OMB 2019 Finale MIDI Question 2

OMB 2019 Finale MIDI Question 2

Déterminer tous les triplets $(a,b,c)$ de nombres naturels avec $c$ premier, tels que $a^b+c$ et $a^b-c$ sont des carrés parfaits.

Solution(s) proposée(s) :

Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.

Anonyme	Posté le : 27/4/2019 14:42 Mis à jour : 27/4/2019
On pose $a^b+c=x^2$ (1) et $a^b-c=y^2$ (2). On soustrait (2) à (1) et on trouve $2c=x^2-y^2$ . Leur différence étant paire, on sait que $x^2$ et $y^2$ sont de même parité, et par conséquent $x$ et $y$ le sont également. En repartant de $2c=x^2-y^2$ et en factorisant, on a $2c=(x-y)(x+y)$ . A partir de là, on sait que $c=x\pm y$ . Or, comme dit plus haut, $x$ et $y$ sont de même parité. Cela implique donc que $c$ est pair. Or, il est premier. Le seul nombre premier pair est $2$ . $c$ vaut donc $2$ . Comme $2*2=(x-y)(x+y)$ , on apprend que $x-y=x+y$ , ce qui veut dire que $y=0$ . En prenant (2) et en remplaçant par les valeurs trouvées, on trouve $a^b=2$ , et donc $a=2$ et $b=1$ car $a$ et $b$ sont naturels. Le seul triplet solution est $(2;1;2)$ .