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OMB 2019 Finale MIDI Question 2 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2019 Finale MIDI Question 2
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Déterminer tous les triplets de nombres naturels avec premier, tels que et sont des carrés parfaits.



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 27/4/2019 14:42  Mis à jour : 27/4/2019
On pose (1) et (2).
On soustrait (2) à (1) et on trouve .
Leur différence étant paire, on sait que et sont de même parité, et par conséquent et le sont également.
En repartant de et en factorisant, on a . A partir de là, on sait que . Or, comme dit plus haut, et sont de même parité. Cela implique donc que est pair. Or, il est premier. Le seul nombre premier pair est . vaut donc .
Comme , on apprend que , ce qui veut dire que .
En prenant (2) et en remplaçant par les valeurs trouvées, on trouve , et donc et car et sont naturels.
Le seul triplet solution est .
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