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OMB 2019 Finale MIDI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2019 Finale MIDI Question 3
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Les dimensions d'un billard rectangulaire sont et . Une boule part du coin et touche successivement, dans cet ordre, les bandes , et respectivement en des points , et . Elle y rebondit en formant à chaque rebond deux angles égaux avec la bande touchée. La boule croise sa trajectoire en un point de après avoir parcouru les côtés du quadrilatère . La boule est ici assimilée à un point : son diamètre est considéré comme nul.



a) Pour quelles valeurs de les trois bandes , et sont-elles bien touchées dans cet ordre ?
b) Quelle est l'aire du quadrilatère en fonction de ?
c) Le quadrilatère peut-il être un losange ? Si oui, pour quelles valeurs de ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 4/5/2020 0:22  Mis à jour : 4/5/2020
Notons x = BM, alpha l'angle AMB = angle CMN et bêta l'angle CNM = angle DNP. Posons de plus h = HQ la hauteur du triangle APQ relative au côté AP.

Par une chasse aux angles, nous avons angle DPN = angle APQ = alpha car angle DPN = 90° - angle DNP = 90° - angle CNM = angle CMN et par un raisonnement analogue, angle BAM = bêta. Enfin, angle PAQ = alpha car les angles PAQ et AMB sont alterne-internes avec AD // BC.

Cherchons maintenant les longueurs qui vont nous permettrent de répondre aux questions (ainsi que h):

MC = BC - BM = 3-x

CN = (9-3x)/(2x) car les triangles MCN et MBA sont semblables (angles homologues de même amplitude) et on peut donc écrire CN/BA = MC/MB.

DN = CD - CN = (6x-9)/(2x)

PD = DN * tg(bêta) = DN * BM/AB = 2x-3

AP = AD - PD = 6-2x

h = AH * tg(alpha) = AP/2 * AB/BM =(9-3x)/(2x)


Répondons à présent aux questions !

a) Toutes les distances calculées précédemment devant être strictement positives, nous devons avoir simultanément x>0, x<3 et x>1,5. Il s'ensuit que 1,5<x<3.

b) On obtient l'aire recherchée en retirant de l'aire du rectangle ABCD les aires de chaque triangle rectangle. Après mise au même dénominateur 4x et en simplifiant au maximum, nous obtenons une aire égale à (-6x²+27x-27)/x.

Nous pouvons remarquer que cette quantité s'annule en x=1,5 et en x=3, ce qui montre bien que l'encadrement de x obtenu à la question précédente est cohérente vu que -6, coefficient du terme en x² du numérateur, est négatif, ce qui implique une concavité vers le bas du graphique et donc l'expression littérale nous fournit bien des aires strictement positives pour les valeurs de x strictement comprises entre 1,5 et 3.

c) Comme alpha et bêta sont complémentaires, nous avons 2 * alpha = 180° - 2 * bêta. Par construction et avec une chasse aux angles immédiate, nous en déduisons que les angles opposés de MNPQ sont égaux. Dès lors, MNPQ est un parallélogramme et il nous reste à montrer que deux de ses côtés consécutifs sont égaux.

En vertu du théorème de Pythagore, nous avons:

MN² = (3-x)² + [(9-3x)/(2x)]²

PN² = [(6x-9)/(2x)]² + (2x-3)²

En égalant MN² et PN² et après quelques manipulations algébriques, nous aboutissons à l'équation 4x²-8x-27=0.

Comme son discriminant vaut (-8)² - 4 * 4 * (-27) = 64 + 432 = 496 = 4 * 4 * 31, nous avons

x = (8 +- 4sqrt(31))/8 = 1 +- sqrt(31)/2 avec 5 < sqrt(31) < 6

Ces deux valeurs sortant de notre intervalle d'étude ]1,5 ; 3[, MNPQ ne peut pas être un losange.


(résolu par Julien ROBE)
Anonyme
Posté le : 25/5/2020 18:26  Mis à jour : 25/5/2020
Il y a une erreur à la dernière question lorsque vous avez égaler MN² et PN² on obtient l'équation
3x(x-2)=0 donc x peut être égal à 0 ( mais qui n'est pas compris entre 1,5 et 3) ou à 2 qui est bien compris entre 1,5 et 3. On peut également aboutir à 2 en se disant que si la balle arrive aux 2/3 de [BC] (en partant de B), elle va rebondir, arriver à la moitié de [DC], rebondir, arriver aux 2/3 de [AC] (en partant de A), rebondir et arriver à la moitié de [AM]. On peut donc conclure que |QM|=|MN|=|NP|=|PQ|=sqrt(1²+(3/4)²)=5/4
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