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OMB 2019 Finale MIDI Question 4
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Écrivons les nombres de 1 à l'un à la suite de l'autre ; puis, à la ligne suivante, les mêmes nombres dans le désordre mais de sorte que la somme des deux nombres d'une même colonne soit toujours une puissance de 2. Voici un exemple d'une telle écriture :




a)Existe-t-il une autre manière de placer les nombres en deuxième ligne, tout en gardant la propriété des sommes ?

b) Remplaçons par ; existe-t-il une écriture du même type ? si oui, est-elle unique ?

c) Remplaçons par ; existe-t-il une écriture du même type ? si oui, est-elle unique ?

d) Pour quelles puissances de 2 existe-t-il une manière d'écrire les nombres de 1 à sur une ligne puis, alignés à la ligne suivante, les mêmes nombres dans le désordre de sorte que la somme des deux nombres d'une même colonne soit toujours une puissance de 2 ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 7/5/2020 0:19  Mis à jour : 7/5/2020
a) Pour n=6, la somme de deux nombres d'une même colonne est inférieure ou égale à 6+6=12. Par conséquent, nous pouvons seulement atteindre les puissances de 2 suivantes: 2,4 et 8.

Notons alors tous les couples de nombres dont la somme vaut 2,4 ou 8 où le premier (respectivement deuxième) élément est un nombre de la première (deuxième) ligne:

(1,1) ; (1,3)
(2,2) ; (2,6)
(3,1) ; (3,5)
(4,4)
(5,3)
(6,2)

Il s'ensuit que 4 doit être couplé avec 4, 5 avec 3 et 6 avec 2. Donc, le 2 de la première ligne ne peut se coupler qu'avec le 6 de la deuxième ligne puisque le 2 de la deuxième ligne a déjà été couplé avec le 6 de la première ligne.

Il reste ainsi (1,1) et (3,5) comme unique possibilité de répondre à la question: on retrouve bien l'exemple de l'énoncé.

En effet, la configuration (1,5) et (3,1) ne peut pas convenir vu que 1+5=6 n'est pas une puissance de deux.


b) Il suffit de construire pour la deuxième ligne la suite 7 6 5 4 3 2 1 8. En effet, les possibilités de couplage sont:

(1,1) ; (1,3) ; (1,7)
(2,2) ; (2,6)
(3,1) ; (3,5)
(4,4)
(5,3)
(6,2)
(7,1)
(8,8)

Ainsi, notre deuxième ligne doit être de la forme x x x 4 3 2 1 8 où x désigne un nombre inconnu. Par conséquent, nous devons avoir le couple (2,6) pour la même raison qu'à la question précédente.

Enfin, par tâtonnements, il nous reste comme unique solution d'avoir les couples (1,7) et (3,5) pour achever notre deuxième ligne.


c) En listant tous les couples possibles, nous devons prendre en compte que les puissances de deux atteignables sont: 2,4,8 et 16 (comme à la question b).

Nous aboutissons à une deuxième ligne de la forme x x x 4 3 10 x 8 7 6. Ensuite, par élimination des nombres déjà utilisés sur la deuxième ligne, nous tirons le couple (2,2) et après tâtonnements, les couples restants (1,1), (3,5) et (7,9).

En conclusion, notre deuxième ligne est:

1 2 5 4 3 10 9 8 7 6


d) Soit k un nombre naturel non nul. La propriété exigée est toujours réalisable quelque soit la valeur de k.

En effet, il suffit de considérer la suite arithmétique (a_p) (où p est un indice naturel allant de 1 à 2^k-1) des premiers nombres naturels consécutifs jusqu'à 2^k-1 compris: (a_p)=(a_1,a_2,...a_(2^k-1))=(1,2,3,4,5,...,2^k-1).

Nous utilisons la propriété que la somme de deux termes équidistants des termes extrêmes 1 et 2^k-1 est égale à leur somme 1+(2^k-1)=2^k.

Cette propriété se démontre en considérant les termes a_p et a_((2^k-1)-p+1) de numéros respectifs p et (2^k-1)-p+1=2^k-p avec p=1,2,3,...,2^k-1:

a_p = a_1 + (p-1)*1 = 1+p-1 = p
a_(2^k-p)= a_1 + [(2^k-p)-1)*1 = 2^k-p

(on calcule l' "espace" qu'il y a entre chaque terme et le premier terme)

et la somme 2^k est bien atteinte par des termes équidistants des termes extrêmes 1 et 2^k-1.

Au final, comme 2^k + 2^k = 2*2^k = 2^(k+1), il suffit de construire comme deuxième ligne la suite (2^k-1) (2^k-2) (2^k-3) ... 3 2 1 (2^k)


(résolu par Julien ROBE)
Anonyme
Posté le : 21/10/2020 13:24  Mis à jour : 21/10/2020
d)k peut être égal à 0 car2^0=1 1+1=2 et 2 est exposant de 2
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