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OMB 2019 Finale MAXI Question 2
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Soit le triangle acutangle avec . La bissectrice de l'angle en rencontre le côté en et la bissectrice de l'angle en rencontre le côté en .

Montrer qu'il existe un point sur le côté tel que le triangle est équilatéral.



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 3/11/2019 20:14  Mis à jour : 3/11/2019
Solution proposée par Merlin Michalski: (qui tient à préciser que son contenu peut comporter des erreurs)

Rappels importants:
1)Point milieu de A et B : P((Xa + Xb)/2;(Ya+Yb)/2)
a)point : lettre majuscule
b)droite : lettre minuscule OU deux lettres majuscules( deux points distincts lui appartenant)

c)racine de trois : r !!!(pas inconnue ni paramètre)!!!

2)pente d'une droite: m OU tg(â), â étant l'angle formé entre la droite et la demi-droite formée de l'intersection de la droite avec l'axe des x et du point (+infini;0), en partant de la demi-droite et en tournant dans le sens anti-horaire.
3)intersection de deux droites : formation d'un système formé des équations des deux droites en question
4)distance entre deux points : racine((Xa-Xb)²+(Ya-Yb)²)
5)équation d'une droite dont on connait la pente et un point lui appartenant: écrire sous la forme y = mx + p, puis remplacer y et x par les coordonnées du point pour trouver p.
6)La somme des angles d'un triangle vaut 180°
7)La médiatrice d'un segment est la droite passant par le milieu des extrémités du segment et étant perpendiculaire à ce segment, il s'agit également de l'ensemble des points à égale distance des éxtrémités de ce segment
8)La pente d'une droite perpendiculaire à une droite de pente m est égale à -1/m

et quelques transformations trigonométriques:

9)tg (â+ê)= (tg(â)+tg(ê))/(1-tg(â)*tg(ê))
9')son cas particulier : tg(2â) = 2tg(â)/(1-tg²(â))
10)tg(â-ê)= (tg(â)-tg(ê))/(1+tg(â)*tg(ê))
son cas particulier : tg(0)=0 ()

Bon, après ces rappels, ce n'est pas vraiment une révélation, je vais résoudre de façon analytique.

A)Position,orientation et échelle du repère(comme on veut):

B(0;0)(position)
C(1;0)(orientation et échelle)

B)Choix du paramètre:

Soit la demi de l'angle en B = â

ABC triangle et l'angle en A= 60° => l'angle en C= 120°- 2â (9)
ABC acutangle => 0<2â<90° => 30°<l'angle en C
=> 30°<l'angle en C<90° => 30°<2â<90°<=> 15°<â<45° (Cette propriété va être très intéressante pour éliminer des cas particuliers)

Autre expression du paramètre m = tg(â) <=> 2-r<m<1

C)détermination des droites:

AB : y = tg(2â)x
BM : y = tg(â)x
CA : y = -tg(120°-2â)*(x-1) (utilisation combinée de (9) et (2), suivie de (5))
CN : y = -tg(60°-â)*(x-1) (même chose)

D)détermination de M et N:

M : intersection de BM et CA : y = tg(â)x
y = -tg(120°-2â)x+tg(120°-2â)

<=> tg(â)x = tg(120°-2ä)- tg(120°-2â)x <=> x*(tg(â)+tg(120°-2â))= tg(120°-2â)

<=> X = tg(120°-2â)/(tg(â)+tg(120°-2â)) = (1+rm)*(r-m)/(r+m)*(1+m²) (après transformations trigonométriques et changement de tg(â) en m)

<=> Y = mX = m*(1+rm)*(r-m)/(r+m)*(1+m²)

<=> M((1+rm)*(r-m)/(r+m)*(1+m²);(m*(1+rm)*(r-m)/(r+m)*(1+m²)))

N : intersection de CN et BA

De manière similaire, on obtient : N((r-m)*(1+m)*(1-m)/(r+m)*(1+m²);2m*(r-m)/(r+m)*(1+m²))

Alors, même si je sais que ça a l'air barbare à première vue, en réalité, c'est assez joli (selon le point de vue du mathématicien). 1) Tout est décomposé en facteurs simples
2) Tous les dénominateurs sont égaux
3) Tout est exprimé en produits et somme de 1,r(racine de trois) et m

E)détermination de la pente de la droite MN:

pente de MN : (Ym-Yn)/(Xm-Xn)= (m*(r-m)*(1+rm-2)/(r+m)*(1+m²))[/u] = (rm-1)/(r+m)
(r-m)*m/(1+m²)

Stop. Ici, une petite explication s'impose. Qu'est-ce que j'essaie de faire ? J'essaie de montrer que quel que soit la valeur du paramètre m(entre 2-r et 1), il existe un P sur le segment [BC] tel que MNP est équilatéral, ce qui est équivalent à dire que la distance MN est égale à la distance MP et à la distance NP. On sait que la pente de MN n'est jamais verticale.
Petite explication:La pente est donnée par (rm-1)/(r+m). Dire qu'elle est verticale reviendrait à dire soit que rm-1 pourrait tendre vers l'infini, ce qui n'est pas le cas.
soit que r+m pourrait être égal à 0, ce qui n'est pas le cas (0<2<m+r).

On peut donc certifier au moins qu'il existe un P sur la droite BC tel que |MP|=|NP|. Il s'agit simplement de l'intersection entre : la médiatrice de [MN] et BC. Il ne nous restera ensuite que deux choses à faire :
1) Certifier que ce P est toujours situé sur le côté [BC]
2) Certifier que |MN|=|NP|(et par extension = |MP|)

F)détermination de la médiatrice de [MN](appelons-la d):

pente de la médiatrice = -1/pente MN = -(r+m)/(rm-1)

Point milieu de [MN]: ((Xm+Xn)/2;(Ym+Yn)/2) = ((r-m)*(-m²+rm+2)/2*(r+m)*(1+m²); m*(r-m)*(rm+3)/2*(r+m)*(1+m²))

!!!!On peut voir que la pente de la médiatrice peut être verticale. En effet, rm-1(le dénominateur) peut valoir 0. Il est important d'analyser ce cas particulier avant de continuer:

rm-1 = 0 <=> m = 1/r <=> â = 30° <=> ABC est équilatéral. Pour nous épargner du temps à tous, je vais me contenter de dire que l'intersection des bissectrices avec les côtés d'un triangle équilatéral forment un nouveau triangle équilatéral pour des raisons assez intuitives.

Enfin, connaissant la pente de d et un point lui appartenant(le point milieu), on peut trouver d. Pour raison de flemme , je me contenterais ici de donner le résultat final, mais je recommande vivement cette longue série de calculs, distribution et mises en évidence afin de sentir la magie des mathématiques à l’œuvre (non, en vérité, je pense que c'est un des exercices les plus ennuyeux que l'on puisse faire, mais n'hésitez-pas à perdre votre temps comme j'ai perdu le mien, par solidarité )

d : y = (-(m+r)/(rm-1))x+(r-m)/(rm-1)

G)Détermination de P:

P est l'intersection de "d" et BC : y = (-(m+r)/(rm-1))x+(r-m)/(rm-1)
y = 0

<=> X = (r-m)/(r+m)
<=> P((r-m)/(r+m);0)

H) Prouver que P est situé sur [BC]:

Pour que P soit sur [BC], il suffit que (r-m)/(r+m) soit compris entre 0 et 1. Déjà, on peut facilement voir que c'est toujours plus grand que 0:

r+m>0 et r-m>r-1>0

Ensuite comme r-m(le numérateur)<2*(r-1) et r+m(le dénominateur)>2, on sait que (r-m)/(r+m)< 2*(r-1)/2
< r-1
< 1
P est donc bien situé sur [BC](on s'en doutait un peu, non?)

I) Constater que la distance |MN|= |MP|:

Ici, par raison de simplicité, je vais plutôt exprimer les carrés des distances. De toute façon, si les distances sont égales, leurs carrés le sont aussi.

|MN|² = (Xm-Xn)²+(Ym-Yn)² = (après de longs,longs calculs) 4m²*(r-m)²/(1+m²)*(r+m)²

|MP|² =(bon, on s'en doutait un peu, mais ça fait quand même du bien d'y être arrivé)4m²*(r-m)²/(1+m²)*(r+m)²

Il ne reste plus qu'à conclure avec quelque chose du genre : "Ben on voit bien kc'est la même chose" et l'exercice est résolu.

PS: Personnellement, j'aimerais savoir si les juges ont vraiment pensé qu'il serait possible de fournir une réponse complète en une heure, ou si c'était juste pour piéger ceux qui voulaient faire l'ensemble des exercices, car même avec la bonne idée et le bon système , ça m'a pris une bonne heure et demie pour faire les calculs, vérifier si il n'y avait pas des cas particuliers, réfléchir sur la marche à suivre, ...et je vous avoue que cette résolution ne m'est pas apparue naturellement (il y a un petit côté contre-intuitif à laisser A se balader librement sur le graphe)
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