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OMB 2019 Finale MAXI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2019 Finale MAXI Question 3
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Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, l'ensemble est formé des points dont les trois coordonnées sont comprises entre -3 et 3, et ont pour somme 1. L'ensemble est formé des points de dont la distance à l'origine est inférieure à 3. Quel est le rapport de l'aire de à celle de ?



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Anonyme
Posté le : 27/4/2019 21:53  Mis à jour : 27/4/2019
A. On sait que x+y+z=1, ce qui nous permet de construire la fonction z=1-x-y. Ce qui représente un plan.
Pour que toutes les coordonnées soient entre -3 et 3, il faut qu'elle appartiennent au cubes dont les coordonnées des sommets sont égales à 3 ou -3.
L'intersection entre le plan et le cube est un polygone, dont les coins sont les intersections entre le plan et les arrêtes du cube, et forme l'ensemble A.
Les arrêtes du cubes sont tous les points dont 2 des coordonnées sont égales à 3 ou -3 et dont la coordonnée restante est comprise entre -3 et 3.
Pour trouver les coordonnées, il suffit donc de remplacer deux des variables (x, y ou z) de la fonction par 3 ou -3 et continuer jusqu'à avoir vérifié toutes les possibilités.
Je vous laisse calculer vous même, voici les résultats.
A=(-3,1,3)
B=(1,-3,3)
C=(3,-3,1)
D=(3,1,-3)
E=(1,3,-3)
F=(-3,3,1)
En observant attentivement les données (remarquer les symétries x et y) on s'aperçoit que cet hexagone est composé de 2 trapèzes, celui FABC et celui CDEF . À prouver.
Les aires de ces 2 trapèze sont faciles à calculer, encore une fois, je passe les calculs mais on trouve respectivement 10V2(V = racine) et 16V2 et donc une somme de 26V2.
Pour l'ensemble B, je ne sais pas comment trouver, cette fois ci il faut faire l'intersection entre la sphère de rayon 3 et de centre (0,0,0) et le plan.
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