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OMB 2019 Finale MAXI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2019 Finale MAXI Question 3
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Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, l'ensemble est formé des points dont les trois coordonnées sont comprises entre -3 et 3, et ont pour somme 1. L'ensemble est formé des points de dont la distance à l'origine est inférieure à 3. Quel est le rapport de l'aire de à celle de ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 27/4/2019 21:53  Mis à jour : 27/4/2019
A. On sait que x+y+z=1, ce qui nous permet de construire la fonction z=1-x-y. Ce qui représente un plan.
Pour que toutes les coordonnées soient entre -3 et 3, il faut qu'elle appartiennent au cubes dont les coordonnées des sommets sont égales à 3 ou -3.
L'intersection entre le plan et le cube est un polygone, dont les coins sont les intersections entre le plan et les arrêtes du cube, et forme l'ensemble A.
Les arrêtes du cubes sont tous les points dont 2 des coordonnées sont égales à 3 ou -3 et dont la coordonnée restante est comprise entre -3 et 3.
Pour trouver les coordonnées, il suffit donc de remplacer deux des variables (x, y ou z) de la fonction par 3 ou -3 et continuer jusqu'à avoir vérifié toutes les possibilités.
Je vous laisse calculer vous même, voici les résultats.
A=(-3,1,3)
B=(1,-3,3)
C=(3,-3,1)
D=(3,1,-3)
E=(1,3,-3)
F=(-3,3,1)
En observant attentivement les données (remarquer les symétries x et y) on s'aperçoit que cet hexagone est composé de 2 trapèzes, celui FABC et celui CDEF . À prouver.
Les aires de ces 2 trapèze sont faciles à calculer, encore une fois, je passe les calculs mais on trouve respectivement 10V2(V = racine) et 16V2 et donc une somme de 26V2.
Pour l'ensemble B, je ne sais pas comment trouver, cette fois ci il faut faire l'intersection entre la sphère de rayon 3 et de centre (0,0,0) et le plan.
Anonyme
Posté le : 3/11/2019 23:22  Mis à jour : 3/11/2019
Suite de solution proposée par Merlin Michalski (attention, mon énoncé contient peut-être des erreurs)

Alors, comme l'a énoncé Anonyme(qui ne m'en voudra pas, enfin, j'espère), nous cherchons l'intersection entre le plan x+y+z = 1 et la sphère dont le centre est situé à l'origine et dont le rayon vaut 3.

Tout d'abord, créons la droite d perpendiculaire au plan passant par l'origine(autrement dit, le centre de la sphère).

Si vous vous rappelez vos cours d'analytique, une droite est décrite par un vecteur(pente) et un point de passage. Le vecteur perpendiculaire à un plan est simplement le vecteur dont les coordonnées sont égales aux coefficients des variables de l'expression synthétique du plan.

Par exemple : le vecteur perpendiculaire au plan x+y+z=1 est v(1,1,1)

Ensuite, pour créer la droite, il suffit de créer une expression paramétrique, de la forme x=kp+Xo, où k est le nombre associé à la variable en question dans le vecteur, p dit simplement que l'on peut prendre ce vecteur autant de fois que l'on veut, et Xo est le x du point de passage, permettant de dire que lorsque l'on ne prend pas du tout le vecteur, on passe par ce point. Dans notre exemple:

x=p
y=p
z=p

Par chance, l'exemple que j'ai choisi est exactement la situation décrite, ce qui me permet de ne pas refaire l'exercice

Ensuite, j'ai calculé l'intersection de la droite avec le plan (création d'un système comprenant la droite et le plan)

x=p
y=p
z=p
x+y+z=1

<=> p+p+p=1 <=> p=1/3 <=> x=y=z=1/3

Il suffit ensuite de calculer la distance entre ce point et l'origine:

racine(1/9+1/9+1/9)=racine(3)/3

Soit P(1/3;1/3;1/3) et Q un point situé sur la circonférence de notre cercle (intersection sphère/plan = cercle)

Le triangle OPQ (O désignant l'origine) est rectangle en P car :

PO = d
PQ appartient au plan et passe par P
d est perpendiculaire au plan et l'intersecte au point P <=> toute droite appartenant au plan passant par P est perpendiculaire à d

|OQ|= au rayon de la sphère = 3
|PO|= racine(3)/3 (on vient de le calculer)
|PQ|= rayon du cercle d'intersection

|OQ|²= |PO|²+|PQ|²<=> 9 = 1/3 + |PQ|² <=> |PQ|² = 26/3

Comme la surface d'un cercle est donnée par "pi"*r², on obtient immédiatement que l'aire recherchée est égale à 26"pi"/3.
Pour ce qui est du rapport, je vous laisse la lourde tache de le trouver par vous-même
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