Suite de solution proposée par Merlin Michalski (attention, mon énoncé contient peut-être des erreurs)
Alors, comme l'a énoncé Anonyme(qui ne m'en voudra pas, enfin, j'espère), nous cherchons l'intersection entre le plan x+y+z = 1 et la sphère dont le centre est situé à l'origine et dont le rayon vaut 3.
Tout d'abord, créons la droite d perpendiculaire au plan passant par l'origine(autrement dit, le centre de la sphère).
Si vous vous rappelez vos cours d'analytique, une droite est décrite par un vecteur(pente) et un point de passage. Le vecteur perpendiculaire à un plan est simplement le vecteur dont les coordonnées sont égales aux coefficients des variables de l'expression synthétique du plan.
Par exemple : le vecteur perpendiculaire au plan x+y+z=1 est v(1,1,1)
Ensuite, pour créer la droite, il suffit de créer une expression paramétrique, de la forme x=kp+Xo, où k est le nombre associé à la variable en question dans le vecteur, p dit simplement que l'on peut prendre ce vecteur autant de fois que l'on veut, et Xo est le x du point de passage, permettant de dire que lorsque l'on ne prend pas du tout le vecteur, on passe par ce point. Dans notre exemple:
x=p
y=p
z=p
Par chance, l'exemple que j'ai choisi est exactement la situation décrite, ce qui me permet de ne pas refaire l'exercice
Ensuite, j'ai calculé l'intersection de la droite avec le plan (création d'un système comprenant la droite et le plan)
x=p
y=p
z=p
x+y+z=1
<=> p+p+p=1 <=> p=1/3 <=> x=y=z=1/3
Il suffit ensuite de calculer la distance entre ce point et l'origine:
racine(1/9+1/9+1/9)=racine(3)/3
Soit P(1/3;1/3;1/3) et Q un point situé sur la circonférence de notre cercle (intersection sphère/plan = cercle)
Le triangle OPQ (O désignant l'origine) est rectangle en P car :
PO = d
PQ appartient au plan et passe par P
d est perpendiculaire au plan et l'intersecte au point P <=> toute droite appartenant au plan passant par P est perpendiculaire à d
|OQ|= au rayon de la sphère = 3
|PO|= racine(3)/3 (on vient de le calculer)
|PQ|= rayon du cercle d'intersection
|OQ|²= |PO|²+|PQ|²<=> 9 = 1/3 + |PQ|² <=> |PQ|² = 26/3
Comme la surface d'un cercle est donnée par "pi"*r², on obtient immédiatement que l'aire recherchée est égale à 26"pi"/3.
Pour ce qui est du rapport, je vous laisse la lourde tache de le trouver par vous-même
