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OMB 2019 Finale MAXI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2019 Finale MAXI Question 4
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Les polynômes et (où et sont des entiers strictement positifs) admettent seulement des racines entières et en possèdent chacun au moins une. Déterminer toutes les valeurs possibles du couple .



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 7/7/2019 13:35  Mis à jour : 7/7/2019
Pour que les deux fonctions aient au moins une racines réelles, il faut que


En additionnant la première avec l'opposé de la seconde (pour que le sens des deux inégalités soit le même), on obtient , par symétrie, on sait que aussi.
Focalisons nous sur les racines de la première fonction. Celles-ci sont données par


On peut remarquer que quelles que soient les parités de et de , tant que est un carré parfait, les racines sont entières et négatives.Puisque les racines sont négatives, pour qu'elles soient entières, la plus grande doit être , c-à-d




Les deux membres étant positifs, on peut les élever au carré




Par symétrie, on sait que c'est vrai aussi pour la deuxième fonction en inversant les rôles de m et de n
Il faut donc traiter deux cas :

1. le réalisant de la première fonction vaut




On cherche donc 2 carrés parfaits dont la différence vaut . Pour se convaincre de leur existence et unicité, il suffit de se rappeler que tout carré parfait . Grâce à cette égalité, on constate immédiatement que les seuls carrés dont la différence vaut sont et . Donc et le réalisant vaut 0. Puisque dans ce cas, les deux fonctions sont égales, est solution.

2. . Dans ce cas, le réalisant de la première fonction vaut


qui est forcément un carré parfait. Dans la deuxième équation, le réalisant vaut




. Cette fois ci, on cherche deux carrés parfaits dont la différence vaut 8, en utilisant la même astuce qu'avant, on trouve que les deux carrés valent et C-à-d




et le réalisant vaut 1. Par hypothèse, . Par symétrie, et est aussi solution.
Les couples qui vérifient les conditions sont et.
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