OMB - OMB 2020 Finale MINI Question 1

OMB 2020 Finale MINI Question 1

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Cette question est divisée en deux questions distinctes, chacune valant la moitié des points.

Question 1.

Des jardiniers ont marqué 1000 emplacements alignés le long d'une rivière (d'un seul côté), pour y replanter 900 noisetiers et 100 saules. Les noisetiers doivent être groupés en 2 blocs de 450 séparés par au moins 1 saule. Quel est le nombre de dispositions des noisetiers, en supposant qu'il est impossible de les distinguer les uns des autres ? Précision : une disposition des noisetiers est un choix de 900 emplacements parmi les 1000 emplacements marqués.

Question 2.

Si $n$ est un nombre naturel non nul, $n!$ est une abréviation pour $n \times (n-1) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$ . Par exemple, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$ . Quel est le plus petit nombre naturel non nul dont le produit par $12!$ est un carré parfait ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 11/10/2020 21:53 Mis à jour : 11/10/2020
Question 2 En décomposant 12! en facteurs premiers, il vient 12! = 2^10 * 3^5 * 5^2 * 7 * 11. Il suffit donc de multiplier ce nombre par 3711 = 231 pour obtenir le plus petit carré parfait non nul possible !

Anonyme	Posté le : 2/3/2021 14:36 Mis à jour : 2/3/2021


Anonyme	Posté le : 9/4/2022 19:17 Mis à jour : 9/4/2022
Les 2 blocs de 450 noisetiers peuvent être considérés comme 2 objets. Le problème consiste donc à déterminer les dispositions possibles de 2 objets parmi 2+100 = 102 objets (2 blocs et 100 saules). Cependant, il faudra retirer les cas où les 2 blocs sont adjacents (1 seul bloc de 900 noisetiers), i.e. retirer le nombre de dispositions de 1 objet (900 noisetiers) parmi 1+100 = 101 objets. Donc il y aura : 102C2 - 101C1 = (102*101)/2 - 101 = 5050 possibilités.