OMB - OMB 2008 Finale MINI Question 4 - Solution de Victor Leconte

OMB 2008 Finale MINI Question 4 - Solution de Victor Leconte

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Question :

Dans sa caverne, Ali a trouvé un sac de $n$ pépites d'or qui pèsent 1 gramme, 2 grammes,
3 grammes, 4 grammes, ..., $n$ grammes. Sa femme veut exactement la moitié du poids
total de l'or. Sans couper aucune pépite, Ali doit donc effectuer un partage en deux parts de même poids.

(a) Ce partage est-il possible si $n=12$ ?

(b) Ce partage est-il possible si $n=5$ ?

(c) Ce partage est-il possible si $n=11$ ?

(d) Pour quelles valeurs de $n$ le partage est-il possible ?

Solution de Victor Leconte :

(a) Oui, en voici un exemple, les nombres représentant le nombre de grammes des pépites d'or.

Ali : $\{1, 3,5,8,10,12\} = 39$
Sa femme : $\{2,4,6,7,9,11\}=39$ .

Si on divise l'ensemble de pépites en deux parties, la premières contenant les $\frac n2$ dernières pépites dans l'ordre croissant de grammes, la seconde les $\frac n2$ dernières pépites; si dans chaque partie il y a un nombre pair de pépites, on prendra pour Ali dans la première partie les pépites au nombre impair de grammes et dans la seconde partie celles au nombre pair de grammes. On prend alors pour sa femme les pépites restantes. Donc puisque la partie d'Ali avait $\frac n4$ grammes de moins que sa femme dans la première partie, il y en a $\frac n4$ de plus dans la seconde. Pour cette méthode, il faut que $n$ soit un multiple de $4$ .

(b) Non, car la somme des nombres de grammes des pépites fait 15 (impair), et il est donc impossible de les partager en 2.

(c) Oui, en voici un exemple, les nombres représentant à nouveau le nombre de grammes d'une pépite d'or.

Ali : $\{1,5,7,9,11\}$
Sa femme : $\{2,3,4,6,8,10\}$

Justification : on prend pour ali les pépites dont le nombre de grammes est impair. La différence de grammes entre lui et sa femme, vaut donc $n -\frac{n-1}{2}$ , et puis on transfère $\frac{n - \frac{n-1}{2}}{2}$ grammes de sa part à celle de sa femme.

(d) Pour le cas $n=12$ , la condition était $n=4x$ .
Pour le cas $n=11$ , la conditionétait $n=4x-1$ car il fallait que $n$ soit impair, mais également que $\frac{n(n+1)}{2}$ soit pair, ce qui excluait $n=4x+1$ , où $n+1$ n'aurait pas été multiple de 4, mais de 2 quand même, et où $\frac n2$ n'aurait pas été entier, donc $n+1$ ne serait pas pair. Donc $n$ pouvait être un multiple de 4 ou un multiple de 4 moins 1.

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Anonyme	Posté le : 11/4/2009 22:51 Mis à jour : 11/4/2009
!!! La solution d est fausse... Prenez par exemple 9 ; 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 45 n'est pas divisible par 2 et 9 est un multiple de 4 plus un (8+1). Cette solution est donc fausse. Ma solution est : n est un multiple de 4, ou bien n est un multiple de 2 (mais pas de 4) plus 1.(ex: 2+1 ; 6+1 ; 10+1 ; ...) Merci de bien vouloir corriger cette réponse. Guilliams Simon

Nicolas Franco	Posté le : 12/4/2009 1:47 Mis à jour : 12/4/2009
Cette solution n'était pas fausse. Il y avait juste une faute de distraction à la dernière ligne. Cette dernière ligne était « Donc $n$ pouvait être un multiple de 4 ou un multiple de 4 plus 1. » et a été remplacée par « Donc $n$ pouvait être un multiple de 4 ou un multiple de 4 moins 1. » Le raisonnement par contre est bien correct.