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OMB 2020 Finale MAXI Question 1 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2020 Finale MAXI Question 1
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Le banquet annuel du Syndicat Breton des Pêcheurs de Moules en eaux froides a réuni cette année 2020 participants. Le gâteau qui en constituait le dessert a été partagé et distribué (par ordre d'âge décroissant) de la manière suivante:
- le 1er a reçu 1/2020 du gâteau ;
- le 2e a reçu 2/2020 du reste ;
- le 3e a reçu 3/2020 du reste ;
- ...
- le 2019e a reçu 2019/2020 du reste ;
- le 2020e a reçu tout le reste.

Qui a reçu la plus grosse part ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 11/10/2020 12:53  Mis à jour : 11/10/2020
Pour accelerer la dactylographie de ceci, remplacons 2020 par M. Appelons a(k) la part du k-eme convive et r(k) la part de gateau restante apres que les k premiers convives aient ete servis.
On sait que pour 0<k<M
r(0) = 1
r(k) = r(k-1) - a(k)
a(k) = r(k-1) * k/M
a(M) = r(M-1).
On deduit que
r(k) = r(k-1) * (1-k/M) = ... = (1-1/M) * ... * (1-k/M), d'ou
a(k) = (1-1/M) * ... * (1-(k-1)/M) * k/M pour 0<k<M et donc
a(k+1) = a(k) * (1-k/M) * M/k * (k+1)/M = a(k) * (M-k)(k+1)/(Mk) quand 1<k<M-1.
Notons aussi que a(M) = r(M-1) = (1-1/M) * ... * (1-(M-1)/M) tandis que
a(M-1) = (1-1/M) * ... * (1-(M-2)/M) * (M-1)/M > a(M): l'avant-dernier convive a une part (M-1) fois plus grande que le dernier.
Le facteur (M-k)(k+1)/Mk est plus petit que 1 si et seulement si M < k*k+k et plus grand que 1 sinon: les part de gateau augmentent jusqu'au plus grand k pour lequel M >= k*k + k. Donc k=44.
Anonyme
Posté le : 13/5/2021 5:58  Mis à jour : 13/5/2021
Par rapport à la réponse précédente, pourquoi la formule ne fonctionne pas si M =10 ? Si k*k+k doit être inférieur à M, c'est pourtant la 3e personne qui reçoit la plus grosse part
Anonyme
Posté le : 9/6/2021 23:35  Mis à jour : 9/6/2021
Le raisonnement dit que r(k+1)>=r(k) quand M>=k^2+k. C'est le cas, quand M=10, pour k=2. Donc r(3)>=r(2). Par contre, M<k^2+k quand M=10 et k=3. Donc r(4)<r(3), et 3 est la solution du probleme.
Pour M=2020, on a montre que le k le plus grand pour lequel r(k+1)>=r(k) est k=44. Ou est le probleme?
Anonyme
Posté le : 4/7/2022 14:37  Mis à jour : 4/7/2022
OK pour le développement mais la racine est entre 44 et 45. En utilisant l'expression, je trouve que le 45 ieme reçoit encore un tout petit peu plus que le 44 ieme. C'est 45 la réponse.
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