Pour accelerer la dactylographie de ceci, remplacons 2020 par M. Appelons a(k) la part du k-eme convive et r(k) la part de gateau restante apres que les k premiers convives aient ete servis.
On sait que pour 0<k<M
r(0) = 1
r(k) = r(k-1) - a(k)
a(k) = r(k-1) * k/M
a(M) = r(M-1).
On deduit que
r(k) = r(k-1) * (1-k/M) = ... = (1-1/M) * ... * (1-k/M), d'ou
a(k) = (1-1/M) * ... * (1-(k-1)/M) * k/M pour 0<k<M et donc
a(k+1) = a(k) * (1-k/M) * M/k * (k+1)/M = a(k) * (M-k)(k+1)/(Mk) quand 1<k<M-1.
Notons aussi que a(M) = r(M-1) = (1-1/M) * ... * (1-(M-1)/M) tandis que
a(M-1) = (1-1/M) * ... * (1-(M-2)/M) * (M-1)/M > a(M): l'avant-dernier convive a une part (M-1) fois plus grande que le dernier.
Le facteur (M-k)(k+1)/Mk est plus petit que 1 si et seulement si M < k*k+k et plus grand que 1 sinon: les part de gateau augmentent jusqu'au plus grand k pour lequel M >= k*k + k. Donc k=44.

Par rapport à la réponse précédente, pourquoi la formule ne fonctionne pas si M =10 ? Si k*k+k doit être inférieur à M, c'est pourtant la 3e personne qui reçoit la plus grosse part

Le raisonnement dit que r(k+1)>=r(k) quand M>=k^2+k. C'est le cas, quand M=10, pour k=2. Donc r(3)>=r(2). Par contre, M<k^2+k quand M=10 et k=3. Donc r(4)<r(3), et 3 est la solution du probleme.
Pour M=2020, on a montre que le k le plus grand pour lequel r(k+1)>=r(k) est k=44. Ou est le probleme?

OK pour le développement mais la racine est entre 44 et 45. En utilisant l'expression, je trouve que le 45 ieme reçoit encore un tout petit peu plus que le 44 ieme. C'est 45 la réponse.