| OMB 2020 Finale MAXI Question 1 |
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Le banquet annuel du Syndicat Breton des Pêcheurs de Moules en eaux froides a réuni cette année 2020 participants. Le gâteau qui en constituait le dessert a été partagé et distribué (par ordre d'âge décroissant) de la manière suivante:
- le 1er a reçu 1/2020 du gâteau ;
- le 2e a reçu 2/2020 du reste ;
- le 3e a reçu 3/2020 du reste ;
- ...
- le 2019e a reçu 2019/2020 du reste ;
- le 2020e a reçu tout le reste.
Qui a reçu la plus grosse part ? |
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| Solution(s) proposée(s) : |
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| Anonyme |
Posté le : 11/10/2020 12:53 Mis à jour : 11/10/2020 |
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Pour accelerer la dactylographie de ceci, remplacons 2020 par M. Appelons a(k) la part du k-eme convive et r(k) la part de gateau restante apres que les k premiers convives aient ete servis.
On sait que pour 0<k<M
r(0) = 1
r(k) = r(k-1) - a(k)
a(k) = r(k-1) * k/M
a(M) = r(M-1).
On deduit que
r(k) = r(k-1) * (1-k/M) = ... = (1-1/M) * ... * (1-k/M), d'ou
a(k) = (1-1/M) * ... * (1-(k-1)/M) * k/M pour 0<k<M et donc
a(k+1) = a(k) * (1-k/M) * M/k * (k+1)/M = a(k) * (M-k)(k+1)/(Mk) quand 1<k<M-1.
Notons aussi que a(M) = r(M-1) = (1-1/M) * ... * (1-(M-1)/M) tandis que
a(M-1) = (1-1/M) * ... * (1-(M-2)/M) * (M-1)/M > a(M): l'avant-dernier convive a une part (M-1) fois plus grande que le dernier.
Le facteur (M-k)(k+1)/Mk est plus petit que 1 si et seulement si M < k*k+k et plus grand que 1 sinon: les part de gateau augmentent jusqu'au plus grand k pour lequel M >= k*k + k. Donc k=44.
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| Anonyme |
Posté le : 13/5/2021 5:58 Mis à jour : 13/5/2021 |
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Par rapport à la réponse précédente, pourquoi la formule ne fonctionne pas si M =10 ? Si k*k+k doit être inférieur à M, c'est pourtant la 3e personne qui reçoit la plus grosse part
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| Anonyme |
Posté le : 9/6/2021 23:35 Mis à jour : 9/6/2021 |
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Le raisonnement dit que r(k+1)>=r(k) quand M>=k^2+k. C'est le cas, quand M=10, pour k=2. Donc r(3)>=r(2). Par contre, M<k^2+k quand M=10 et k=3. Donc r(4)<r(3), et 3 est la solution du probleme.
Pour M=2020, on a montre que le k le plus grand pour lequel r(k+1)>=r(k) est k=44. Ou est le probleme?
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