OMB - OMB 2020 Finale MAXI Question 1

OMB 2020 Finale MAXI Question 1

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Le banquet annuel du Syndicat Breton des Pêcheurs de Moules en eaux froides a réuni cette année 2020 participants. Le gâteau qui en constituait le dessert a été partagé et distribué (par ordre d'âge décroissant) de la manière suivante:
- le 1er a reçu 1/2020 du gâteau ;
- le 2e a reçu 2/2020 du reste ;
- le 3e a reçu 3/2020 du reste ;
- ...
- le 2019e a reçu 2019/2020 du reste ;
- le 2020e a reçu tout le reste.

Qui a reçu la plus grosse part ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 11/10/2020 12:53 Mis à jour : 11/10/2020
Pour accelerer la dactylographie de ceci, remplacons 2020 par M. Appelons a(k) la part du k-eme convive et r(k) la part de gateau restante apres que les k premiers convives aient ete servis. On sait que pour 0<k<M r(0) = 1 r(k) = r(k-1) - a(k) a(k) = r(k-1) * k/M a(M) = r(M-1). On deduit que r(k) = r(k-1) * (1-k/M) = ... = (1-1/M) * ... * (1-k/M), d'ou a(k) = (1-1/M) * ... * (1-(k-1)/M) * k/M pour 0<k<M et donc a(k+1) = a(k) * (1-k/M) * M/k * (k+1)/M = a(k) * (M-k)(k+1)/(Mk) quand 1<k<M-1. Notons aussi que a(M) = r(M-1) = (1-1/M) * ... * (1-(M-1)/M) tandis que a(M-1) = (1-1/M) * ... * (1-(M-2)/M) * (M-1)/M > a(M): l'avant-dernier convive a une part (M-1) fois plus grande que le dernier. Le facteur (M-k)(k+1)/Mk est plus petit que 1 si et seulement si M < kk+k et plus grand que 1 sinon: les part de gateau augmentent jusqu'au plus grand k pour lequel M >= kk + k. Donc k=44.