OMB - OMB 2020 Finale MAXI Question 2

OMB 2020 Finale MAXI Question 2

Le polynôme $P(x)=x^3-2x^2-3x+1$ admet trois racines réelles $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ . Que vaut $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$ ?

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Anonyme	Posté le : 6/10/2020 20:00 Mis à jour : 6/10/2020
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Anonyme	Posté le : 11/10/2020 12:54 Mis à jour : 11/10/2020
Indice: Formules de Newton-Girard

Anonyme	Posté le : 11/10/2020 18:02 Mis à jour : 11/10/2020
Désignons par $a$ , $b$ et $c$ les racines du polynôme (plus simples à écrire que $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ ). En développant et en manipulant $(a+b+c)^3$ , on arrive à l'identité suivante : $a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+3abc$ Par les formules de Viète, on a : $a+b+c = 2<br />ab+ac+bc = -3<br />abc = -1$ En remplaçant ces valeurs dans l'expression, on obtient : $a^3+b^3+c^3 = 2\Big(a^2+b^2+c^2-(-3)\Big)+3(-1)$ $a^3+b^3+c^3 = 2(a^2+b^2+c^2+3)-3$ $a^3+b^3+c^3 = 2(a^2+b^2+c^2)+3$ Pour trouver la valeur de $(a^2+b^2+c^2)$ , on utilise un raisonnement similaire. On trouve alors : $a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2-2(ab+ac+bc) = 10$ Enfin, $a^3+b^3+c^3 = 2(10)+3 = \fbox{23}$

Anonyme	Posté le : 2/3/2021 19:04 Mis à jour : 2/3/2021
Excellent résonnement