Dans le plan, combien existe-t-il de triangles équilatéraux distincts dont au moins deux sommets
sont aussi des sommets

(a) d'un carré donné ?

(b) d'un hexagone régulier donné ?

(c) d'un dodécagone (polygone à 12 sommets) régulier donné ?

On peut attribuer deux triangles équilatéraux différents à chaque segment liant deux points différents de la figure en question. On peut donc calculer le nombre de triangles demandés en multipliant le nombre de tous ces segments par deux.

Cependant, les triangles dont les trois sommets sont aussi des sommets de la figure en question sont alors comptés trois fois. Il faut donc repérer leur nombre en divisant le nombre de sommets de la figure par trois, multiplier ce nombre par deux et le soustraire du total obtenu auparavant (si un tel triangle existe).

(a) .

(b) .

Cependant, il y a deux triangles dont les trois sommets sont des sommets de la figure. Donc .

(c) .

Il y a quatre triangles dont tous les sommets sont des sommets de la figure. Donc .