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OMB 2021 Finale MAXI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2021 Finale MAXI Question 4
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Le cercle de centre et de rayon est inscrit au triangle . Les côtés , et sont respectivement de longueurs , , et tangents à aux points , et . Quelle est la norme du vecteur ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 26/6/2021 14:18  Mis à jour : 26/6/2021
Nommons respectivement les vecteurs vect(1x), vect(1y) et vect(1z) les vecteurs unitaires (de norme égale à 1) issus du point I et aboutissant à chacun des trois points appropriés parmi X,Y et Z.

Par définition du point I (centre du cercle inscrit au triangle ABC de rayon r), nous avons vect(IX) = r*vect(1x), vect(IY) = r*vect(1y) et vect(IZ) = r*vect(1z).

Nous pouvons alors en déduire le carré de la norme du vecteur a*vect(IX) + b*vect(IY) + c*vect(IZ) = ar*vect(1x) + br*vect(1y) + cr*vect(1z).

Ce dernier vaut (le point désignant un produit scalaire entre deux vecteurs) :

a²r² + b²r² + c²r² + 2*ar*br*vect(1x).vect(1y) + 2*ar*cr*vect(1x).vect(1z) + 2*br*cr*vect(1y).vect(1z)

Le produit scalaire de deux vecteurs vect(u) et vect(v) est donné par vect(u).vect(v) = norme(u)*norme(v)*cos(angle orienté compris entre les deux vecteurs vect(u) et vect(v)).

Vu que chaque angle concerné par les trois produits scalaires à calculer est supplémentaire à l'un des trois angles du triangle ABC (par définition des points X,Y et Z, on a des angles droits à considérer), l'expression précédente devient :

a²r² + b²r² + c²r² + 2abr²*1*1*cos(180°-angle C) + 2acr²*1*1*cos(180°-angle B) + 2bcr²*1*1*cos(180°-angle A)

ou encore (les angles supplémentaires ayant des cosinus opposés) :

a²r² + b²r² + c²r² - 2abr²*cos(angle C) - 2acr²*cos(angle B) - 2bcr²*cos(angle A) = [a² + b² + c² - 2ab*cos(angle C) - 2ac*cos(angle B) - 2bc*cos(angle A)] * r².

La grande parenthèse vaut zéro en vertu du théorème d'Al-Kashi et le vecteur a*vect(IX) + b*vect(IY) + c*vect(IZ) est par conséquent le vecteur nul (seul vecteur de norme égale à zéro).
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