| OMB 2021 Finale MAXI Question 3 |
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Une session d'examens est organisée en sixième année à l'Institut Saint-Eddy-Merckx.
Le premier jour, les  élèves de sixième année passent un examen.
Ils sont répartis dans  locaux, avec non nul ; chaque local contient un nombre différent d'élèves, au moins trois.
Malheureusement, des tricheurs sont détectés. Ils sont exclus du deuxième examen, auquel participent, le jour suivant, tous les autres élèves.
Ce deuxième examen est organisé dans un certain nombre non nul de locaux ; cette fois encore, chaque local contient un nombre différent d'élèves, au moins trois.
De plus, les organisateurs parviennent à satisfaire la condition suivante : deux élèves ayant participé au premier examen dans un même local ne participent jamais au second examen dans le même local l'un que l'autre.
(a) Si  et  , les conditions ci-dessus déterminent le nombre de tricheurs détectés ; combien sont-ils ?
(b) Dans le cas général, montrer qu'au moins  tricheurs sont détectés.
(c) À quelle(s) condition(s) sur et est-il possible qu'exactement tricheurs soient détectés ?
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| Solution(s) proposée(s) : |
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| Anonyme |
Posté le : 14/12/2021 10:36 Mis à jour : 14/12/2021 |
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Appelons T le nombre de tricheurs et M le nombre de classes utilisées lors du second examen.
Nous avons les relations suivantes:
* E >= L(L+5)/2
En effet, le nombre d'élèves est nécessairement supérieur à 3+4+...+ (L+2)=2L+(1+2+..+L)=L(L+5)/2 (nombre différent d'élèves pour chaque classe)
* D'autre part, M <= L-2
En effet, le second jour, chaque classe contient au maximum L élèves (on ne peut reprendre qu'un élève au maximum par classe). Comme chaque classe comprend un nombre d'élèves supérieur ou égal à 3 et que ces nombres doivent être différents, il y aura au maximum L-2 classes utilisées.
Il est à noter que L est nécessairement supérieur ou égal à 3 car il serait sinon impossible de composer des classes de minimum 3 élèves le second jour.
* Le nombre d'étudiants le second jour sera donc majoré pae E-T <= L+(L-1)+...+3 = L(L+1)/2 -3
Ces observations permettent de résoudre les différentes parties
(a) E=12 L=3
Nous en déduisons que M=1 (M <= L-2). Cette classe contenant maximum 3 élèves (1 élève au plus de chaque classe), elle en contient exactement 3 et il y a donc 9 tricheurs
(b) Par les relations E >= L (L+5)/2 et E-T <= L (L+1)/2 -3, nous en déduisons que T >= L(L+5)/2-L(L+1)/2+3= 2L+3
(c) Pour que l'égalité soit possible, il est nécessaire que E= L (L+5)/2 avec L>=3.
Dans ce cas, il est toujours possible d'avoir 2L+3 tricheurs. Il suffit de considérer L classes contenant au départ 3, 4, ... , L+2 élèves au départ le 1er jour et 2 tricheurs dans chaque classe. Et le second jour, de considérer L-2 classes de 3,4,..., L élèves (si L=3, 1 classe de 3 élèves; si L=4, 2 classes de 3 et 4 elèves).
Il est toujours possible d'effectuer un tel réarrangement (la classe i prenant le second jour 1 élève dans chaque classe ayant le 1er jour au moins i+2 élèves)
Il est donc nécessaire et suffisant que E=L(L+5)/2 avec L>=3
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