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OMB 2021 Finale MAXI Question 2 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2021 Finale MAXI Question 2
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Un supermarché expose du chocolat en empilant les boites en une construction à étages. Chaque étage a une forme rectangulaire et possède une boite en moins que l'étage au-dessous, tant dans la longueur que dans la largeur.

(a) Si le dernier étage (l'étage supérieur), de rang , est composé de rangées de boites chacune, exprimer le nombre total de boites de la construction en fonction de
, et , sous la forme la plus simplifiée possible.

(b) Quelle est la plus grande valeur possible de si et ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 27/6/2021 18:06  Mis à jour : 27/6/2021
Bonjour,

Je trouve personnellement l'énoncé ambigu quand il est écrit "tant dans la longueur que dans la largeur" (on retire une ou deux boites d'un étage au prochain étage supérieur ?).

Aussi, pourquoi on demande à la question (b) la plus grande valeur possible de S alors qu'avec la question (a), je trouve seulement une valeur pour S quand mn et p sont fixés ?

Je montre le raisonnement sur base de ce que j'ai compris de l'énoncé :

(a)

A l'étage p, il y a mn boites.
A l'étage p-1, il y a mn+1 boites.
A l'étage p-2, il y a mn+2 boites.
...
A l'étage 1, il y a mn+(p-1) boites.

D'où, S = mnp + (1 + 2 + ... + p-1) = mnp + p(p-1)/2 = (2mn+p-1)*p/2


(b) S_max = S pour mn = 6 et p = 10

Donc, S_max = (2*6+10-1)*10/2 = 21*5 = 105
Anonyme
Posté le : 9/8/2021 16:41  Mis à jour : 9/8/2021
Bonjour,

(a)

Je comprends le problème comme suit :

Étage p : m*n boites = mn+0*(m+n)+0
Étage p-1 : (m+1)(n+1) boites = mn+1*(m+n)+1
Étage p-2 : (m+2)(n+2) boites = mn+2*(m+n)+4
Étage p-3 : (m+3)(n+3) boites = mn+3*(m+n)+9

La somme est donc égale à
S = pmn + (0+1+2+...p-1)*(m+n) + (0+1^2+2^2+(p-1)^2)
S = pmn + p(p-1)/2*(m+n) + p*(p-1)(2p+1)/6
Je vous laisse vérifier cette étape, je ne développe pas plus que ça

(b)
Sachant que p = 10 et mn = 6, S devient
S = 10*6 + 10*9/2*(m+n)+10*9*19/6
S = 60 + 45*(m+n) + 285
On veut donc m+n le plus grand possible, avec m=3 et n=2 on obtient S = 60+45*5+285 = 570

Bonne journée
Anonyme
Posté le : 20/8/2021 14:55  Mis à jour : 20/8/2021
Dans ton point a), ton dernier terme devrait être et non .

Dans ton point b), n'est pas la valeur maximale de , c'est la valeur maximale.
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