Soit N un nombre naturel strictement supérieur à 1. Alors, par définition d'un nombre premier, N est premier s'il peut uniquement se décomposer sous la forme 1 x n ou n x 1 (aussi sous la forme (-1) x (-n) ou (-n) x (-1) si on travaille avec les nombres entiers).


(a) (n-7)(n-11) est naturel si 0<=n<=7 ou n>=11.

Pour que ce nombre soit également premier, il faut exclure les valeurs de n impaires (qui rendraient n-7 et n-11 pairs).

Il en résulte que les seules possibilités sont soit n-7 = 1 ou -1 soit n-11 = 1 ou -1 et donc, compte tenu de la condition établie au début, n = 6 et n = 12.


(b) Avec Horner, on montre que n³-8n²+20n-13 = (n-1)(n²-7n+13). Comme (-7)²-4*1*13 < 0, nous avons n²-7n+13 >0 pour tout n et donc, n>=1 pour que le nombre soit naturel.

Les cas n-1 = 1 ou -1 ainsi que n²-7n+13 = 1 ou -1 nous conduisent à n=2, n=3 ou n=4.