omb
Menu principal
Sujets d'articles
OMB 2021 Finale MIDI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2021 Finale MIDI Question 4
530 vues  | Retourner à la liste des questions

(a) Pour quels naturels le nombre est-il un naturel premier ?

(b) Pour quels naturels le nombre est-il un naturel premier ?



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 23/6/2021 20:27  Mis à jour : 23/6/2021
Soit N un nombre naturel strictement supérieur à 1. Alors, par définition d'un nombre premier, N est premier s'il peut uniquement se décomposer sous la forme 1 x n ou n x 1 (aussi sous la forme (-1) x (-n) ou (-n) x (-1) si on travaille avec les nombres entiers).


(a) (n-7)(n-11) est naturel si 0<=n<=7 ou n>=11.

Pour que ce nombre soit également premier, il faut exclure les valeurs de n impaires (qui rendraient n-7 et n-11 pairs).

Il en résulte que les seules possibilités sont soit n-7 = 1 ou -1 soit n-11 = 1 ou -1 et donc, compte tenu de la condition établie au début, n = 6 et n = 12.


(b) Avec Horner, on montre que n³-8n²+20n-13 = (n-1)(n²-7n+13). Comme (-7)²-4*1*13 < 0, nous avons n²-7n+13 >0 pour tout n et donc, n>=1 pour que le nombre soit naturel.

Les cas n-1 = 1 ou -1 ainsi que n²-7n+13 = 1 ou -1 nous conduisent à n=2, n=3 ou n=4.
Membres
Prénom :

Nom :

Mot de passe : 

Conserver la connexion

Récupérer mot de passe
Recherche
Le site officiel de l'Olympiade Mathématique Belge
Contact webmasters :